《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

3. 计算：$(\sqrt{3}+2)^{2023}\cdot (\sqrt{3}-2)^{2024}$.

答案： 解：原式$=(\sqrt{3}+2)^{2023}\cdot (\sqrt{3}-2)^{2023}\cdot (\sqrt{3}-2)$
$=[(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)]^{2023}\cdot (\sqrt{3}-2)$
$=(3 - 4)^{2023}\cdot (\sqrt{3}-2)$
$=(-1)^{2023}\cdot (\sqrt{3}-2)$
$=-1\cdot (\sqrt{3}-2)$
$=2 - \sqrt{3}$

(1)已知$x＞0$,则当$x= $$\sqrt{3}$时,函数$y= x+\frac{3}{x}$取到最小值,最小值为$2\sqrt{3}$；
(2)用篱笆围一个面积为$100m^2$的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
当长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米。

答案：
(1)
解：
∵$x＞0$，
$y = x + \frac{3}{x} = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{\frac{3}{x}})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{\frac{3}{x}})^2 + 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{\frac{3}{x}}$
$= (\sqrt{x} - \sqrt{\frac{3}{x}})^2 + 2\sqrt{3} \geq 2\sqrt{3}$，
当且仅当$\sqrt{x} = \sqrt{\frac{3}{x}}$，即$x = \sqrt{3}$时，等号成立，
∴当$x = \sqrt{3}$时，$y$取最小值$2\sqrt{3}$。
(2)
解：
设矩形花园的长为$x$米，宽为$y$米，篱笆长度为$L$米，
∵面积为$100m^2$，
∴$xy = 100$，且$x＞0$，$y＞0$，
$L = 2(x + y)$，
由
(1)知$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20$，
当且仅当$x = y$时，等号成立，
此时$x = y = 10$，$L = 2×20 = 40$，
∴当长、宽均为$10$米时，篱笆最短，最短长度为$40$米。
答案：
(1)$\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$；
(2)长、宽均为$10$米，最短篱笆长度$40$米。