《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,已知BC= 8,AC= 6,求∠A的三个三角函数值.

答案： 【解析】：
本题考查的是锐角三角函数的定义及计算。在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切分别定义为对边/斜边、邻边/斜边和对边/邻边。
首先，根据勾股定理计算出斜边AB的长度。
然后，根据锐角三角函数的定义，求出$\angle A$的正弦、余弦和正切值。
【答案】：
解：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C= 90^{\circ}$，$BC= 8$，$AC= 6$，
根据勾股定理，斜边$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$，
根据锐角三角函数的定义，我们有：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。

2. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 2BC,求∠A的三个三角函数值.

答案： 【解析】：
本题主要考察锐角三角函数在直角三角形中的应用。在直角三角形中，已知两边长度关系，需要求锐角的三个三角函数值。我们可以先通过设定边长，然后利用三角函数的定义来求解。
设$BC = x$，则$AC = 2x$。
利用勾股定理，我们可以求出斜边$AB$的长度：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = \sqrt{5}x$，
接着，我们可以利用三角函数的定义来求解：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2x}{\sqrt{5}x} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$。
【答案】：
$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan A = \frac{1}{2}$。

3. 已知∠A为锐角,且$\sin A= \frac{15}{17}$,求$\tan A$的值.

答案： 解：设∠A为直角三角形的一个锐角，对边为a，邻边为b，斜边为c。
因为$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{15}{17}$，所以设$a = 15k$，$c = 17k$（$k ＞ 0$）。
由勾股定理得$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(17k)^2 - (15k)^2} = \sqrt{289k^2 - 225k^2} = \sqrt{64k^2} = 8k$。
所以$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{15k}{8k} = \frac{15}{8}$。
答：$\tan A$的值为$\frac{15}{8}$。

4. 已知等腰△ABC的两边长分别为2 cm,6 cm,求这个等腰三角形的底角的正弦值和正切值.

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：腰长为2cm，底边长为6cm。
此时2+2=4＜6，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去。
情况二：腰长为6cm，底边长为2cm。
过顶点A作AD⊥BC于点D，则BD=CD=1cm。
在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√(6²-1²)=√35cm。
底角∠B的正弦值：sin∠B=AD/AB=√35/6。
底角∠B的正切值：tan∠B=AD/BD=√35/1=√35。
综上，这个等腰三角形底角的正弦值为√35/6，正切值为√35。