《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

3. 如图7,在△ABC中,AB= AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.

(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB= 13,BC= 10,求线段DE的长.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∴∠CAD+∠C=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠B=90°，
∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠CAD，
又
∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CAD；
(2)解：
∵AB=AC=13，BC=10，AD为BC边上的中线，
∴BD=CD=5，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$，
由
(1)知△BDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{CA}$，
即$\frac{DE}{12}=\frac{5}{13}$，
解得DE=$\frac{60}{13}$．

4. 如图8,E为□ABCD的边BC延长线上一点,AE与BD交于点F,与DC交于点G.

(1)写出

所

有

与△ABE相似的三角形,并选择其中一

对

相似三角形加以证明；
(2)若BC= 2CE,求$\frac{DF}{FB}$的值.

答案：
(1)与△ABE相似的三角形有△GDA、△GCE。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，
∴∠DAG=∠AEB，∠ADG=∠ABE，
∴△GDA∽△ABE。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BC=2CE，
∴AD=2CE，BE=BC+CE=3CE，
∴AD/BE=2CE/3CE=2/3，
∵AD//BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴DF/FB=AD/BE=2/3。