《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 下列二次根式中,与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是(A)
A.$\sqrt{27}$
B.$\sqrt{32}$
C.$\sqrt{96}$
D.$\sqrt{24}$

答案： 【解析】：
本题主要考察同类二次根式的定义，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
我们需要将每个选项的二次根式化为最简形式，然后判断其被开方数是否与$\sqrt{3}$相同。
A项：$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，但需要检查所有选项以确定是否为唯一解。
B项：$\sqrt{32} = \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式。
C项：$\sqrt{96} = \sqrt{16 × 6} = 4\sqrt{6}$，被开方数为6，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式。
D项：$\sqrt{24} = \sqrt{4 × 6} = 2\sqrt{6}$，被开方数为6，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式。
经过逐一化简和比较，我们可以确定只有A项与$\sqrt{3}$是同类二次根式。
【答案】：
A

2. 下列根式中,不能与$\sqrt{2}$合并的是(C)
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
D.$\sqrt{8}$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的化简及合并同类二次根式。
首先，我们需要明确什么是同类二次根式，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并。
接下来，我们将每个选项中的根式化为最简形式，并判断其是否能与$\sqrt{2}$合并。
A. 对于$\sqrt{\frac{1}{2}}$，我们可以将其写为$\sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，因此可以与$\sqrt{2}$合并，不符合题意。
B. 对于$\frac{1}{\sqrt{2}}$，我们可以将其写为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，因此可以与$\sqrt{2}$合并，不符合题意。
C. 对于$\sqrt{\frac{2}{3}}$，我们可以将其写为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数为6，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，因此不能与$\sqrt{2}$合并，符合题意。
D. 对于$\sqrt{8}$，我们可以将其写为$2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，因此可以与$\sqrt{2}$合并，不符合题意。
综上所述，只有选项C的根式不能与$\sqrt{2}$合并。
【答案】：
C

3. 下列计算中,正确的是(D)
A.$\sqrt{9}-\sqrt{4}= \sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}= 1$
C.$5\sqrt{6}-2\sqrt{3}= 3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{8}= 3\sqrt{2}$

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的加减法则，即只有同类二次根式才能进行加减运算，且运算时，系数相加减，根号部分保持不变。
A. 对于 $\sqrt{9}-\sqrt{4}$，首先计算各自的平方根，得到 $3-2=1$，显然不等于 $\sqrt{5}$，故A选项错误。
B. 对于 $3\sqrt{5}-2\sqrt{5}$，由于它们是同类二次根式，可以进行加减运算，结果为 $(3-2)\sqrt{5}=\sqrt{5}$，显然不等于1，故B选项错误。
C. 对于 $5\sqrt{6}-2\sqrt{3}$，由于 $\sqrt{6}$ 和 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，因此不能进行合并，故C选项错误。
D. 对于 $\sqrt{2}+\sqrt{8}$，首先化简 $\sqrt{8}$ 为 $2\sqrt{2}$，然后进行加减运算，得到 $\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，与选项D中的表达式一致，故D选项正确。
【答案】：
D

4. 计算$\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{4}}+\sqrt{18}$的结果是(C)
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： 解：$\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{4}}+\sqrt{18}$
$=\sqrt{8×\frac{1}{4}}+3\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}+3\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2}$
答案：C

5. 下列各数中,与$1+\sqrt{2}$的积为有理数的是(A)
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$-1-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 解：
A. $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$，结果为有理数。
B. $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=(1+\sqrt{2})^2=1 + 2\sqrt{2} + 2=3 + 2\sqrt{2}$，结果为无理数。
C. $(1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})=-(1+\sqrt{2})^2=-3 - 2\sqrt{2}$，结果为无理数。
D. $(1+\sqrt{2})\sqrt{2}=\sqrt{2} + 2$，结果为无理数。
答案：A

1. 请写出两个与$\sqrt{5}$是同类二次根式的式子：$2\sqrt{5}$，$-3\sqrt{5}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的加减运算以及同类二次根式的概念。同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。因此，要写出与$\sqrt{5}$是同类二次根式的式子，需要找到被开方数为5的倍数或其他能化简为$\sqrt{5}$的形式的数。
例如，$2\sqrt{5}$和$-3\sqrt{5}$都是与$\sqrt{5}$同类的二次根式，因为它们的被开方数都是5。
【答案】：
答案不唯一，如$2\sqrt{5}$，$- \sqrt{45}$（或$-3\sqrt{5}$等）。

2. 如果最简二次根式$\sqrt{1+a}与\sqrt{4a-2}$是同类二次根式,那么$a= $1.

答案： 【解析】：
本题主要考察同类二次根式的定义，即两个二次根式，如果它们的被开方数可以表示为同一个有理数乘以两个完全平方数的形式，则这两个二次根式称为同类二次根式。
根据题意，最简二次根式$\sqrt{1+a}$与$\sqrt{4a-2}$是同类二次根式，所以它们的被开方数应该相等，即：
$1 + a = 4a - 2$，
移项得：
$3a = 3$，
从而解得：
$a = 1$。
【答案】：
$a = 1$。

3. 一个三角形的两边长分别是$\sqrt{3}与\sqrt{12}$,则它的第三边长$x$的取值范围是$\sqrt{3} ＜ x ＜ 3\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形的三边关系以及二次根式的加减。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
所以，对于给定的两边$\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$，我们可以得到第三边$x$的取值范围。
首先，将$\sqrt{12}$化简为$2\sqrt{3}$，便于后续计算。
根据三角形的三边关系，我们有：
$\sqrt{3} + 2\sqrt{3} ＞ x$
$2\sqrt{3} - \sqrt{3} ＜ x$
即：
$3\sqrt{3} ＞ x$
$\sqrt{3} ＜ x$
综合上述两个不等式，我们得到：
$\sqrt{3} ＜ x ＜ 3\sqrt{3}$
【答案】：
$\sqrt{3} ＜ x ＜ 3\sqrt{3}$

4. 三角形的三边长分别是$\sqrt{20}$,$\sqrt{40}$,$\sqrt{45}$,则这个三角形的周长为$5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$.

答案： 解：三角形的周长为三边长之和，即$\sqrt{20} + \sqrt{40} + \sqrt{45}$。
化简各二次根式：
$\sqrt{20} = \sqrt{4×5} = 2\sqrt{5}$；
$\sqrt{40} = \sqrt{4×10} = 2\sqrt{10}$；
$\sqrt{45} = \sqrt{9×5} = 3\sqrt{5}$。
合并同类二次根式：
$2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 3\sqrt{5} = (2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + 2\sqrt{10} = 5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$。
故这个三角形的周长为$5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$。

1. 计算：
(1) $\sqrt{27}+\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{12}-\frac{1}{2}\sqrt{48}+\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$；
(4) $(\sqrt{2}-1)^2-\frac{6}{\sqrt{2}}$；
(5) $\sqrt{18}-(\sqrt{12}-2\sqrt{2})$；
(6) $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\sqrt{8}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的加减运算，需要先将各项化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
【答案】：
(1)
解：
原式
$= \sqrt{9 × 3} + \sqrt{3}$
$= 3\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$= 4\sqrt{3}$
(2)
解：
原式
$= \sqrt{4 × 3} - \frac{1}{2} × \sqrt{16 × 3} + \sqrt{\frac{1}{3} × 3}$
$= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
$= \frac{\sqrt{3}}{3}$
(3)
解：
原式
$= (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$
$= \sqrt{5} × \sqrt{5} - 2 × 2$
$= 5 - 4$
$= 1$
(4)
解：
原式
$= (\sqrt{2} - 1)^2 - \frac{6}{\sqrt{2}}$
$= 2 - 2\sqrt{2} + 1 - 3\sqrt{2}$
$= 3 - 5\sqrt{2}$
(5)
解：
原式
$= \sqrt{9 × 2} - (\sqrt{4 × 3} - 2\sqrt{2})$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$
$= 5\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
(6)
解：
原式
$= \frac{\sqrt{4 × 3} + \sqrt{4 × 6}}{\sqrt{3}} - \sqrt{4 × 2}$
$= \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{2}$
$= 2 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$
$= 2$