《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

3. 如图6,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 70^\circ$,$\angle B= 40^\circ$,其中$D,E两点分别在AB,AC$上,且$AD= \frac{1}{2}AC$,$AE= \frac{1}{2}AB$,则$\angle ADE= $70°.

答案： 解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°.
∵AD=1/2AC，AE=1/2AB，
∴AD/AC=AE/AB=1/2.
又
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
∴∠ADE=∠C=70°.
70°

4. 如图7,在四边形$ABCD$中,$AC平分\angle BAD$,且$AB= 4,AC= 6$. 当$AD= $9时,$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$.

答案： 解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD。
要使△ABC∽△ACD，
则需$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
即$\frac{4}{6}=\frac{6}{AD}$，
解得AD=9。
故答案为9。

1. 如图8,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 47^\circ$,$AB= 1.5\ \text{cm}$,$AC= 2\ \text{cm}$;在$\triangle DEF$中,$\angle E= 47^\circ$,$DE= 2.8\ \text{cm}$,$EF= 2.1\ \text{cm}$. 试判断这两个三角形是否相似,并说明理由.

答案： 解：$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似。理由如下：
在$\triangle ABC$中，$\angle A=47^\circ$，$AB=1.5\ \text{cm}$，$AC=2\ \text{cm}$；在$\triangle DEF$中，$\angle E=47^\circ$，$DE=2.8\ \text{cm}$，$EF=2.1\ \text{cm}$。
计算$\frac{AB}{EF}=\frac{1.5}{2.1}=\frac{5}{7}$，$\frac{AC}{DE}=\frac{2}{2.8}=\frac{5}{7}$。
所以$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{DE}$。
又因为$\angle A=\angle E=47^\circ$，
所以$\triangle ABC \sim \triangle EFD$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

2. 如图9,在四边形$ABCD$中,$AB= 6,BC= 4,AC= 5,CD= \frac{15}{2},AD= \frac{25}{4}$,试判断$\triangle ABC与\triangle DCA$是否相似,并说明理由.

答案： 解：$\triangle ABC$与$\triangle DCA$相似。理由如下：
在$\triangle ABC$中，$AB=6$，$BC=4$，$AC=5$；
在$\triangle DCA$中，$CD=\frac{15}{2}$，$AD=\frac{25}{4}$，$AC=5$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DC}=\frac{6}{\frac{15}{2}}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$，
$\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$，
$\frac{AC}{DA}=\frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
所以$\frac{AB}{DC}=\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DA}=\frac{4}{5}$。
根据相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似），可得$\triangle ABC \sim \triangle DCA$。