《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

4. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - (k + 1)x + 2k - 2 = 0$.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根. 第三边BC的长为6,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.

答案： 【解析】：
(1)为了证明方程总有两个实数根，我们需要计算判别式$\Delta$。
根据一元二次方程的判别式公式，我们有$\Delta = b^2 - 4ac$。
将方程$x^2 - (k + 1)x + 2k - 2 = 0$的系数代入，得到$\Delta = (k + 1)^2 - 4(2k - 2)$。
进一步化简，得到$\Delta = k^2 - 6k + 9 = (k - 3)^2$。
由于$(k - 3)^2 \geq 0$，所以方程总有两个实数根。
(2)要求出k的值，使得$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，我们需要分两种情况考虑：
当$BC$为腰长时，$BC$的长度为6，将$x = 6$代入原方程$x^2 - (k + 1)x + 2k - 2 = 0$，
得到$36 - 6(k + 1) + 2k - 2 = 0$，
化简后得到$k = 7$。
当$BC$为底边时，此时$AB = AC$，即方程$x^2 - (k + 1)x + 2k - 2 = 0$有两个相等的实数根。
根据一元二次方程的判别式公式，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
由第一问可知，$\Delta = (k - 3)^2$，令$\Delta = 0$，解得$k = 3$。
将$k = 3$代入原方程，得到$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$。
由于$2 + 2 ＜ 6$，不满足三角形的三边关系，所以$k = 3$需要舍去。
【答案】：
(1)证明见解析，方程总有两个实数根。
(2)$k$的值为7。