《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

4. 如图4,$□ ABCD$中,$E是CD$的延长线上一点,$BE与AD交于点F$,则图中的相似三角形对数共有(C)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC。
1.
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠E，∠A=∠FDE，
∴△ABF∽△DEF；
2.
∵AD//BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，
∴△DEF∽△CEB；
3. 由1、2得△ABF∽△DEF∽△CEB，
∴△ABF∽△CEB。
综上，相似三角形共有3对。
答案：C

1. 如图5,$\triangle ABD \backsim \triangle ACB$,$\angle C= \angle 1$,则$\frac{AD}{(AB)}= \frac{(BD)}{BC}= \frac{AB}{(AC)}$.

答案： 解：
∵△ABD∽△ACB，
∴∠1=∠BAC，∠A=∠A，∠ADB=∠ABC，
∴AD与AB是对应边，AB与AC是对应边，BD与BC是对应边，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$。
AB；BD；AC

2. 如图6,在$\triangle ABC$中,$DE // BC$,若$D为AB$的中点,则$\triangle ADE和\triangle ABC$的相似比为______.

1/2

答案： 解：
∵D为AB的中点，
∴AD = 1/2 AB，即AD/AB = 1/2。
∵DE // BC，
∴△ADE ∽ △ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∴△ADE和△ABC的相似比为AD/AB = 1/2。
1/2

3. 如果一个三角形的三边长分别是$3\ \text{cm}$,$5\ \text{cm}$,$7\ \text{cm}$,和它相似的另一个三角形的最长边为$21\ \text{cm}$,那么较大三角形的周长是45$\text{cm}$,较小三角形与较大三角形周长的比是$\frac{1}{3}$.

答案： 解：设较小三角形的三边长分别为$a = 3\ \text{cm}$，$b = 5\ \text{cm}$，$c = 7\ \text{cm}$，其周长$C_小 = 3 + 5 + 7 = 15\ \text{cm}$。
因为两个三角形相似，且较小三角形的最长边$c = 7\ \text{cm}$，较大三角形的最长边为$21\ \text{cm}$，所以相似比$k = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$。
设较大三角形的周长为$C_大$，由于相似三角形周长的比等于相似比，所以$\frac{C_小}{C_大} = k = \frac{1}{3}$，即$\frac{15}{C_大} = \frac{1}{3}$，解得$C_大 = 45\ \text{cm}$。
较小三角形与较大三角形周长的比是$\frac{1}{3}$。
45；$\frac{1}{3}$

4. 如图7,在$□ ABCD$中,点$E为AD$的中点,连接$BE$,交$AC于点F$,则$AF:CF$等于1:2.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF/CF=AE/CB，
∵点E为AD的中点，
∴AE=1/2AD=1/2BC，
∴AF/CF=AE/CB=1/2，
即AF:CF=1:2.
答案：1:2

1. 如图8,$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$,且$\angle A= \angle D$,$\angle B= \angle E$. 求未知边$x$,$y$的长度.

答案： 解：
∵△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠C=∠F
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$
由图可知AC=4，DF=8，DE=12，EF=7，AB=x，BC=y
$\frac{4}{8}=\frac{x}{12}=\frac{y}{7}$
由$\frac{4}{8}=\frac{x}{12}$得：8x=4×12，x=6
由$\frac{4}{8}=\frac{y}{7}$得：8y=4×7，y=3.5
∴x=6，y=3.5

2. 如图9,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^\circ$,$\triangle ABC \backsim \triangle BDC$,$AB= 3$,$AC= 5$,求$DC$的长.

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=3$，$AC=5$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
因为$\triangle ABC \backsim \triangle BDC$，
所以$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$，
即$\frac{5}{4}=\frac{4}{DC}$，
解得$DC=\frac{16}{5}$。