《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x+1)^2-9= 0$；
(2)$x(x+2)-3x= 0$；
(3)$x^2-6x+3= 0$；
(4)$2x^2-3x+1= 0$；
(5)$(2x+1)^2= 4x+2$；
(6)$(x+1)^2-4x^2= 0$.

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法等。
(1)方程$(x+1)^2-9= 0$，可以用直接开平方法，将方程转化为$x+1=\pm3$，从而求解。
(2)方程$x(x+2)-3x= 0$，可以通过因式分解法，将方程转化为$x(x-1)= 0$，从而求解。
(3)方程$x^2-6x+3= 0$，可以使用公式法，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，然后代入公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解。
(4)方程$2x^2-3x+1= 0$，同样可以使用公式法求解。
(5)方程$(2x+1)^2= 4x+2$，需要先对方程进行整理，然后通过因式分解法或者公式法求解。
(6)方程$(x+1)^2-4x^2= 0$，可以通过因式分解法，将方程转化为$(3x+1)(1-x)= 0$，从而求解。
【答案】：
(1)解：
由$(x+1)^2-9= 0$，
得$(x+1)^2= 9$，
所以$x+1=\pm3$，
解得$x_1= 2$，$x_2= -4$。
(2)解：
由$x(x+2)-3x= 0$，
得$x(x-1)= 0$，
所以$x= 0$或$x-1= 0$，
解得$x_1= 0$，$x_2= 1$。
(3)解：
由$x^2-6x+3= 0$，
其中$a= 1$，$b= -6$，$c= 3$，
计算判别式$\Delta=b^2-4ac= (-6)^2-4×1×3= 24$，
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6\pm\sqrt{24}}{2}=3\pm\sqrt{6}$，
解得$x_1= 3+\sqrt{6}$，$x_2= 3-\sqrt{6}$。
(4)解：
由$2x^2-3x+1= 0$，
其中$a= 2$，$b= -3$，$c= 1$，
计算判别式$\Delta=b^2-4ac= (-3)^2-4×2×1= 1$，
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{4}$，
解得$x_1= 1$，$x_2= \frac{1}{2}$。
(5)解：
由$(2x+1)^2= 4x+2$，
整理得$4x^2+4x+1= 4x+2$，
即$4x^2-1= 0$，
所以$(2x+1)(2x-1)= 0$，
解得$x_1= -\frac{1}{2}$，$x_2= \frac{1}{2}$。
(6)解：
由$(x+1)^2-4x^2= 0$，
得$(x+1)^2= 4x^2$，
即$(x+1)^2-(2x)^2= 0$，
所以$(3x+1)(1-x)= 0$，
解得$x_1= -\frac{1}{3}$，$x_2= 1$。

2. 阅读下面的例题：分解因式$x^2+2x-3$.
解：令$x^2+2x-3= 0$,得到一个关于$x$的方程.
∵$a= 1$,$b= 2$,$c= -3$,
∴$b^2-4ac= 16＞0$,
∴$x= \frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}= -1\pm2$,
即$x_1= 1$,$x_2= -3$,
∴$x^2+2x-3= (x-x_1)(x-x_2)= (x-1)(x+3)$
这种分解因式的方法叫做求根法.请你利用这种方法分解因式：
(1)$x^2-2x-8$；
(2)$4x^2-3x-7$.

答案：
(1)解：令$x^2 - 2x - 8 = 0$，
$\because a = 1$，$b = -2$，$c = -8$，
$\therefore b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-8) = 4 + 32 = 36＞0$，
$\therefore x = \frac{2\pm\sqrt{36}}{2} = \frac{2\pm6}{2}$，
即$x_1 = 4$，$x_2 = -2$，
$\therefore x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$；
(2)解：令$4x^2 - 3x - 7 = 0$，
$\because a = 4$，$b = -3$，$c = -7$，
$\therefore b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×4×(-7) = 9 + 112 = 121＞0$，
$\therefore x = \frac{3\pm\sqrt{121}}{2×4} = \frac{3\pm11}{8}$，
即$x_1 = \frac{7}{4}$，$x_2 = -1$，
$\therefore 4x^2 - 3x - 7 = 4(x - \frac{7}{4})(x + 1) = (4x - 7)(x + 1)$。