《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 如图4,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AB= 8 cm,D为AB的中点,DE⊥AC于E,∠A= 30°,求BC,CD和DE的长.

答案： 【解析】：本题主要考查直角三角形的性质，包括$30^\circ$角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形中位线的性质。
在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB = 8cm$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，可得$BC=\frac{1}{2}AB$。
因为$D$为$AB$的中点，$DE\perp AC$，所以$DE$平行于$BC$，$E$为$AC$中点，$CD$为斜边$AB$上的中线。
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出$CD$的长度。
最后根据三角形中位线性质求出$DE$的长度。
【答案】：解：
在$Rt\triangle ABC$中，
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB = 8cm$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4(cm)$。
$\because D$为$AB$的中点，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4(cm)$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\because D$为$AB$的中点，$DE\perp AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore DE// BC$，$E$为$AC$中点（三角形中位线的判定），
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4 = 2(cm)$（三角形中位线等于第三边的一半）。
综上，$BC$的长为$4cm$，$CD$的长为$4cm$，$DE$的长为$2cm$。

2. 如图5,△ABC为等腰直角三角形,AB= AC,∠BAC= 90°,点D在线段AB上,连接CD,∠ADC= 60°,AD= 2,过点C作CE⊥CD,且CE= CD,连接DE,交BC于点F.求△CDE的面积.

答案： 【解析】：本题可先在$Rt\triangle ADC$中求出$CD$的长度，再根据$CE = CD$以及$\angle DCE = 90^{\circ}$求出$\triangle CDE$的面积。
1. 在$Rt\triangle ADC$中，已知$\angle ADC = 60^{\circ}$，$AD = 2$，$\angle A = 90^{\circ}$。
因为在直角三角形中，$\tan\angle ADC=\frac{AC}{AD}$，$\angle ADC = 60^{\circ}$，$AD = 2$，所以$AC = AD×\tan60^{\circ}=2\sqrt{3}$。
又因为$\cos\angle ADC=\frac{AD}{CD}$，所以$CD=\frac{AD}{\cos60^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
2. 已知$CE\perp CD$，即$\angle DCE = 90^{\circ}$，且$CE = CD = 4$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（其中$a$、$b$为直角边），对于$\triangle CDE$，其直角边为$CD$和$CE$，所以${S}_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}× CD× CE$。
把$CD = 4$，$CE = 4$代入可得${S}_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}× 4× 4 = 8$。
【答案】：$8$