《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

3. 如图6,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,CE为AB边上的中线,且∠BCD= 3∠DCA.求证：DE= DC.

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，∠BCD=3∠DCA，设∠DCA=x，则∠BCD=3x，
∴x+3x=90°，解得x=22.5°，即∠DCA=22.5°，∠BCD=67.5°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠A=90°-∠DCA=67.5°.
∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CE=AE=BE（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠ECA=∠A=67.5°.
∵∠DCA=22.5°，
∴∠ECD=∠ECA-∠DCA=67.5°-22.5°=45°.
在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠ECD=45°，
∴∠CED=45°，
∴∠ECD=∠CED，
∴DE=DC.

4. 一块光学直角棱镜的截面为直角三角形ABC,如图7,AB所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB= 90°,∠A= 30°,现将一束单色光从AC边上的点O入射,折射后到达AB边上的点D,恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE= ∠ODC),从E点垂直于BC射出,若光线在棱镜内部经过的路径的总长度OD+DE= 6$\sqrt{3}$.
(1)OD= $3\sqrt{3}$,DE= $3\sqrt{3}$.
(2)求截面Rt△ABC的面积.由 (1) 知 $ CD = 2x = 6\sqrt{3} $。在 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \angle A = 30^\circ $，$ CD $ 为斜边上的高，$ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} $。设 $ BC = a $，则 $ AB = 2a $，$ AC = \sqrt{3}a $。$ CD = \frac{\sqrt{3}a \cdot a}{2a} = \frac{\sqrt{3}a}{2} = 6\sqrt{3} $，解得 $ a = 12 $。$ AC = 12\sqrt{3} $，$ BC = 12 $，面积 $ S = \frac{1}{2} × 12\sqrt{3} × 12 = 72\sqrt{3} $。

答案：
(1) 设 $ OD = x $，$ DE = y $。
在 $ \text{Rt}\triangle ACD $ 中，$ \angle A = 30^\circ $，$ CD \perp AB $，则 $ \angle ACD = 60^\circ $。
由反射定律 $ \angle CDE = \angle ODC $，设 $ \angle ODC = \angle CDE = \theta $。
在 $ \triangle ODC $ 中，$ \angle OCD = 90^\circ - \angle ACD = 30^\circ $，故 $ \theta = 60^\circ $，$ \triangle ODC $ 中 $ \angle COD = 90^\circ $，$ OD = CD \cdot \cos 60^\circ $，$ CD = 2OD = 2x $。
在 $ \triangle CDE $ 中，$ DE \perp BC $，$ \angle DCE = 60^\circ $，$ CD = 2DE = 2y $，故 $ CD = 2y $，则 $ x = y $。
由 $ OD + DE = 6\sqrt{3} $，得 $ x + y = 6\sqrt{3} $，又 $ x = y $，解得 $ x = y = 3\sqrt{3} $。
$ OD = 3\sqrt{3} $，$ DE = 3\sqrt{3} $。
(2) 由
(1) 知 $ CD = 2x = 6\sqrt{3} $。
在 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \angle A = 30^\circ $，$ CD $ 为斜边上的高，$ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} $。设 $ BC = a $，则 $ AB = 2a $，$ AC = \sqrt{3}a $。
$ CD = \frac{\sqrt{3}a \cdot a}{2a} = \frac{\sqrt{3}a}{2} = 6\sqrt{3} $，解得 $ a = 12 $。
$ AC = 12\sqrt{3} $，$ BC = 12 $，面积 $ S = \frac{1}{2} × 12\sqrt{3} × 12 = 72\sqrt{3} $。
(1) $ 3\sqrt{3} $，$ 3\sqrt{3} $
(2) $ 72\sqrt{3} $
答案
(1) $ 3\sqrt{3} $，$ 3\sqrt{3} $
(2) $ 72\sqrt{3} $