《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

3. 如图8,在△ABC中,AB= 3AD,DE//BC,EF//AB,AB= BC= 9,AC= 6.
求:(1)△ADE的周长；
(2)△ADE和△EFC的面积比.

答案： 【解析】：本题主要考查相似三角形的性质，包括相似三角形的周长比和面积比与相似比的关系。
对于（1），先根据已知条件得出$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似，再求出相似比，进而求出$\triangle ADE$的周长。
对于（2），先求出$\triangle ADE$与$\triangle EFC$的相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出面积比。
（1）求$\triangle ADE$的周长：
因为$AB = 3AD$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
又因为$DE// BC$，根据相似三角形的判定定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形的性质（相似三角形周长的比等于相似比），$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，已知$\triangle ABC$的周长为$AB + BC + AC = 9 + 9 + 6 = 24$，所以$\triangle ADE$的周长为$\frac{1}{3}×24 = 8$。
（2）求$\triangle ADE$和$\triangle EFC$的面积比：
因为$DE// BC$，$EF// AB$，所以四边形$BDEF$是平行四边形，则$BD = EF$。
又因为$AB = 3AD$，所以$BD = AB - AD = 2AD$，即$EF = 2AD$，那么$\frac{AD}{EF}=\frac{1}{2}$。
因为$EF// AB$，所以$\angle A = \angle FEC$，$\angle ADE = \angle EFC$（两直线平行，同位角相等），根据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可得$\triangle ADE\sim\triangle EFC$。
根据相似三角形的性质（相似三角形面积的比等于相似比的平方），$\triangle ADE$与$\triangle EFC$的相似比为$\frac{AD}{EF}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle EFC}} = (\frac{AD}{EF})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
【答案】：
(1)$8$；
(2)$1:4$

4. 如图9,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于点F.
(1)求证:△ACB∽△DCE；
(2)①求△ACB和△DCE的面积比；
②求△DFB和△DCE的面积比.

答案：
(1)证明：由图可知，AC=3，BC=6，DC=2，EC=4，∠ACB=∠DCE=90°。
∵AC/DC=3/2，BC/EC=6/4=3/2，
∴AC/DC=BC/EC，
又
∵∠ACB=∠DCE，
∴△ACB∽△DCE。
(2)①解：
∵△ACB∽△DCE，相似比为3/2，
∴面积比为(3/2)²=9/4。
②解：
∵△ACB∽△DCE，
∴∠ABC=∠DEC，
∵∠FDB=∠CDE，
∴△DFB∽△DCE，
由图可知，DC=2，DB=BC-DC=6-2=4，
∴DF/DC=DB/DE，
在Rt△DCE中，DE=√(DC²+EC²)=√(2²+4²)=2√5，
在Rt△ACB中，AB=√(AC²+BC²)=√(3²+6²)=3√5，
∵△ACB∽△DCE，
∴AB/DE=AC/DC=3/2，即3√5/(2√5)=3/2，
∵F在AB上，设AF=x，则FB=AB-AF=3√5 - x，
由△AFD∽△ECD（∠FAD=∠CED，∠AFD=∠ECD=90°），
得AF/EC=AD/ED，AD=AC+CD=3+2=5，
即x/4=5/(2√5)，解得x=2√5，
∴FB=3√5 - 2√5=√5，
∵△DFB∽△DCE，
∴相似比为FB/DE=√5/(2√5)=1/2，
∴面积比为(1/2)²=1/4。