《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 一个三角形的三边长分别为$1,\sqrt{2},2$,另一个三角形的两边长分别为$\sqrt{2}和2$,若这两个三角形相似,则另一个三角形的第三边长为(D)
A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}或1$

答案： 解：设另一个三角形的第三边长为$x$。
已知第一个三角形三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$2$，第二个三角形两边长为$\sqrt{2}$，$2$。
情况一：若$\sqrt{2}$与$1$对应，$2$与$\sqrt{2}$对应，则相似比为$\sqrt{2}:1$，所以$x:2 = \sqrt{2}:1$，解得$x = 2\sqrt{2}$。
情况二：若$\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$对应，$2$与$2$对应，则相似比为$1:1$，所以第三边$x = 1$。
情况三：若$\sqrt{2}$与$2$对应，$2$与$\sqrt{2}$对应，此时比例不成立，舍去。
综上，另一个三角形的第三边长为$2\sqrt{2}$或$1$。
答案：D

2. 如图1,已知$\angle 1= \angle 2$,那么添加下列一个条件后,仍

无

法

判定$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$的是(A)

A.$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}$
B.$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$
C.$\angle B= \angle ADE$

D.$\angle C= \angle E$

答案： 解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
A. $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，不是夹∠BAC与∠DAE的两边对应成比例，无法判定△ABC∽△ADE。
B. $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且∠BAC=∠DAE，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ADE。
C. ∠B=∠ADE，且∠BAC=∠DAE，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ADE。
D. ∠C=∠E，且∠BAC=∠DAE，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ADE。
答案：A

3. 如图2,在正三角形$ABC$中,点$D,E分别在AC,AB$上,且$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{3}$,$AE= BE$,则有(B)

A.$\triangle AED\backsim\triangle BED$
B.$\triangle AED\backsim\triangle CBD$
C.$\triangle AED\backsim\triangle ABD$
D.$\triangle BAD\backsim\triangle BCD$

答案： 证明：设正三角形$ABC$的边长为$3a$。
$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AC=3a$，$\therefore AD=a$，$DC=AC - AD=3a - a=2a$。
$\because AE=BE$，$AB=3a$，$\therefore AE=BE=\frac{3a}{2}$。
$\because \triangle ABC$是正三角形，$\therefore \angle A=\angle C=60^\circ$。
在$\triangle AED$和$\triangle CBD$中：
$\frac{AE}{CB}=\frac{\frac{3a}{2}}{3a}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CD}$。
又$\angle A=\angle C$，$\therefore \triangle AED\backsim\triangle CBD$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
答案：B

4. 下列四个选项中的三角形,与图3中的三角形相似的是(B)

答案： 解：设图中小正方形边长为1。
图3三角形三边长：
$\begin{aligned}&a=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5},\\&b=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2},\\&c=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}。\end{aligned}$
三边比为$\sqrt{5}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，化简得$\sqrt{5}:\sqrt{8}:\sqrt{10}$。
选项B三角形三边长：
$\begin{aligned}&d=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},\\&e=\sqrt{4^2 + 4^2}=4\sqrt{2},\\&f=\sqrt{2^2 + 6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}。\end{aligned}$
三边比为$2\sqrt{5}:4\sqrt{2}:2\sqrt{10}=\sqrt{5}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与图3三角形三边对应成比例。
答案：B

1. 如图4,在$\triangle ABC$中,$AB= 8,AC= 6,BC= 12$;在$\triangle A'B'C'$中,$A'B'= 4,A'C'= 3$. 当$B'C'= $6时,$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$.

答案： 解：要使$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，需满足对应边成比例。
已知$AB = 8$，$A'B' = 4$，则$\frac{AB}{A'B'} = \frac{8}{4} = 2$；
$AC = 6$，$A'C' = 3$，则$\frac{AC}{A'C'} = \frac{6}{3} = 2$。
所以对应边的比例为$2$，因此$\frac{BC}{B'C'} = 2$。
因为$BC = 12$，所以$B'C' = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$。
答案：$6$

2. 如图5,若$AO\cdot BO= DO\cdot CO$,$\angle A= 28^\circ$,则$\angle D= $28°.

答案： 证明：
∵AO·BO=DO·CO，
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{CO}{BO}$。
∵∠AOC=∠DOB（对顶角相等），
∴△AOC∽△DOB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠A=∠D。
∵∠A=28°，
∴∠D=28°。
28°