《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

2. 在△ABC中,∠C= 90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由下列条件解直角三角形.
(1)已知：a= 1,c= √5,求b；
(2)已知：a= 35,c= 35√2,求∠B.

答案： 【解析】：
本题主要考查了直角三角形的性质以及三角函数的应用。
对于第一个问题，已知直角三角形$\bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$a = 1$，$c = \sqrt{5}$，我们可以利用勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$来求解$b$。
对于第二个问题，已知$a = 35$，$c = 35\sqrt{2}$，我们可以先利用勾股定理求出$b$，然后利用$\sin B = \frac{b}{c}$求出$\angle B$。
【答案】：
(1)解：
由勾股定理，我们有
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$
所以，$b = 2$。
(2)解：
首先，由勾股定理，我们有
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(35\sqrt{2})^2 - 35^2} = \sqrt{2450 - 1225} = \sqrt{1225} = 35$
然后，利用正弦函数，我们有
$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
查表得，当$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\angle B = 45^\circ$。
所以，$\angle B = 45^\circ$。

3. 如图2,为了测量河两岸A,B两点的距离,在与AB垂直的方向上一点C处测得AC= 10米,∠ACB= 60°,求A,B两点的距离(结果保留根号).

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$\tan\angle ACB=\frac{AB}{AC}$。
已知$AC = 10$米，$\angle ACB = 60^{\circ}$，根据三角函数值$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
由$\tan\angle ACB=\frac{AB}{AC}$可得$AB = AC\cdot\tan\angle ACB$，将$AC = 10$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$代入，得$AB = 10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}$（米）。
所以$A$，$B$两点的距离为$10\sqrt{3}$米。

4. 如图3,已知从A点经过B点到达C点,总行程为17千米,其中∠ABC= 90°,tanA= 5/12,那么由A点直接到C点的最短距离是多少千米?

答案： 解：设 $ BC = 5x $ 千米，$ AB = 12x $ 千米。
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{12}$，符合题意。
由题意得 $ AB + BC = 17 $，即 $ 12x + 5x = 17 $，解得 $ x = 1 $。
则 $ AB = 12 $ 千米，$ BC = 5 $ 千米。
由勾股定理得 $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 $ 千米。
答：由A点直接到C点的最短距离是13千米。