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25. (12分)已知 $ □ ABCD $ 的两边 $ AB,BC $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0 $ 的两个实数根.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程总有两个实数根;
(2)若 $ □ ABCD $ 是菱形,求出此时菱形的边长;
(3)若 $ AB $ 的长为 $ 2 $,求出此时 $ □ ABCD $ 的周长.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程总有两个实数根;
(2)若 $ □ ABCD $ 是菱形,求出此时菱形的边长;
(3)若 $ AB $ 的长为 $ 2 $,求出此时 $ □ ABCD $ 的周长.
答案：
25.解:
(1)证明:因为Δ=(-m)²-4($\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$)=(m-1)²≥0,所以无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)因为□ABCD是菱形,所以AB=BC.所以Δ=0,即(m-1)²=0.所以m=1.所以x²-x+$\frac{1}{4}$=0,解得x₁=x₂=$\frac{1}{2}$.所以此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$.
(3)将x=2代入方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0,得2²-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0,解得m=$\frac{5}{2}$.所以AB+BC=m=$\frac{5}{2}$.所以此时□ABCD的周长为2(AB+BC)=5.
(1)证明:因为Δ=(-m)²-4($\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$)=(m-1)²≥0,所以无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)因为□ABCD是菱形,所以AB=BC.所以Δ=0,即(m-1)²=0.所以m=1.所以x²-x+$\frac{1}{4}$=0,解得x₁=x₂=$\frac{1}{2}$.所以此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$.
(3)将x=2代入方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0,得2²-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0,解得m=$\frac{5}{2}$.所以AB+BC=m=$\frac{5}{2}$.所以此时□ABCD的周长为2(AB+BC)=5.
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