《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

23. (8 分)如图,在等边△ABC 中,点 D 是 AB 边上一点,连接 CD,将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°后得到 CE,连接 AE. 求证：AE // BC.

答案：
证明:如图,

因为等边△ABC中,AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
又因为将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE,
所以CD=CE,∠DCE=60°,
所以∠ACB=∠DCE,
即∠1+∠2=∠2+∠3,
所以∠1=∠3.
在△BCD与△ACE中,
BC=AC,
∠1=∠3,
CD=CE,
所以△BCD≌△ACE(SAS),
所以∠B=∠EAC=60°,
所以∠EAC=∠ACB,
所以AE//BC.

24. (11 分)如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB = 90°,D 为 AB 边上一点,连接 CD,将 CD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到 CE,连接 AE.
(1)求证：AE = DB；
(2)若 AD = 3√{2},BD = √{2},求四边形 AECD 的面积.

答案： 解:
(1)证明:因为将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE,
所以CD=CE,∠DCE=90°.
又因为∠ACB=90°,
所以∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,
即∠BCD=∠ACE.
因为△ABC为等腰直角三角形,
所以AC=BC.
在△ACE和△BCD中,
CE=CD,
∠ACE=∠BCD,
AC=BC,
所以△ACE≌△BCD(SAS),
所以AE=DB.
(2)因为AD=3$\sqrt{2}$,BD=$\sqrt{2}$,
所以AB=AD+BD=4$\sqrt{2}$.
设AC=BC=x,
根据勾股定理,得AC²+BC²=AB²,
则x²+x²=(4$\sqrt{2}$)²,
解得x₁=4,x₂=-4(负值舍去),
所以AC=BC=4.
因为△BCD≌△ACE,
所以S△BCD=S△ACE,
所以S四边形AECD=S△ACE+S△ACD=S△BCD+S△ACD=S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=8.