搜索
24. (11分)提出问题
为解方程 $ (x^{2}-2)^{2}-11(x^{2}-2)+18 = 0 $,我们可以将 $ x^{2}-2 $ 视为一个整体,然后设 $ x^{2}-2 = y $,则 $ (x^{2}-2)^{2}= y^{2} $,于是原方程可转化为 $ y^{2}-11y + 18 = 0 $,解此方程,得 $ y_{1}= 2,y_{2}= 9 $.
当 $ y = 2 $ 时,$ x^{2}-2 = 2,x^{2}= 4 $,所以 $ x = \pm2 $;
当 $ y = 9 $ 时,$ x^{2}-2 = 9,x^{2}= 11 $,所以 $ x = \pm\sqrt{11} $.
所以原方程的解为 $ x_{1}= 2,x_{2}= -2,x_{3}= \sqrt{11},x_{4}= -\sqrt{11} $.
以上方法就是换元法解方程,从而达到了降次的目的,体现了转化的思想.
解决问题
(1)运用上述换元法解方程 $ x^{4}-3x^{2}-4 = 0 $;
延伸拓展
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ (m + 3n)(m + 3n - 2)= 2m + 6n - 4 $,求 $ 4m + 12n - 3 $ 的值.
为解方程 $ (x^{2}-2)^{2}-11(x^{2}-2)+18 = 0 $,我们可以将 $ x^{2}-2 $ 视为一个整体,然后设 $ x^{2}-2 = y $,则 $ (x^{2}-2)^{2}= y^{2} $,于是原方程可转化为 $ y^{2}-11y + 18 = 0 $,解此方程,得 $ y_{1}= 2,y_{2}= 9 $.
当 $ y = 2 $ 时,$ x^{2}-2 = 2,x^{2}= 4 $,所以 $ x = \pm2 $;
当 $ y = 9 $ 时,$ x^{2}-2 = 9,x^{2}= 11 $,所以 $ x = \pm\sqrt{11} $.
所以原方程的解为 $ x_{1}= 2,x_{2}= -2,x_{3}= \sqrt{11},x_{4}= -\sqrt{11} $.
以上方法就是换元法解方程,从而达到了降次的目的,体现了转化的思想.
解决问题
(1)运用上述换元法解方程 $ x^{4}-3x^{2}-4 = 0 $;
延伸拓展
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ (m + 3n)(m + 3n - 2)= 2m + 6n - 4 $,求 $ 4m + 12n - 3 $ 的值.
答案：
24.解:
(1)设x²=a,所以原方程可转化为a²-3a-4=0,解得a₁=-1,a₂=4.当a=-1时,x²≥0≠-1,故舍去;当a=4时,x²=4,解得x₁=-2,x₂=2.所以原方程的解为x₁=-2,x₂=2.
(2)因为(m+3n)(m+3n-2)=m²+6mn+9n²-2m-6n,(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,所以原式可变形为m²+6mn+9n²-4m-12n+4=0,所以(m+3n)²-4(m+3n)+4=0.设m+3n=p,所以p²-4p+4=0,则(p-2)²=0,解得p=2,即m+3n=2.所以4m+12n-3=4(m+3n)-3=4×2-3=5.
(1)设x²=a,所以原方程可转化为a²-3a-4=0,解得a₁=-1,a₂=4.当a=-1时,x²≥0≠-1,故舍去;当a=4时,x²=4,解得x₁=-2,x₂=2.所以原方程的解为x₁=-2,x₂=2.
(2)因为(m+3n)(m+3n-2)=m²+6mn+9n²-2m-6n,(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,所以原式可变形为m²+6mn+9n²-4m-12n+4=0,所以(m+3n)²-4(m+3n)+4=0.设m+3n=p,所以p²-4p+4=0,则(p-2)²=0,解得p=2,即m+3n=2.所以4m+12n-3=4(m+3n)-3=4×2-3=5.
查看更多完整答案，请扫码查看
