《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

21. (8 分)如图,二次函数 $ y = ax^2 - 2x + c(a \neq 0) $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ A(-3,0) $,$ B(1,0) $,交 $ y $ 轴于点 $ C $,顶点为 $ D $.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点 $ P $ 是抛物线对称轴上的一个动点,连接 $ BP $,$ CP $,当 $ BP + CP $ 的长度最小时,求出点 $ P $ 的坐标.

答案： 解:
(1)根据题意，设二次函数的解析式为$y = a(x + 3)(x - 1)$，
　化为一般式，得$y = ax^{2}+2ax - 3a$，
　所以$2a = -2$，
　所以$a = -1$，
　所以二次函数的解析式为$y = -x^{2}-2x + 3$。
(2)连接AP(图略)。因为点A与点B关于抛物线的对称轴对称，所以$AP = BP$，
　　所以当A，P，C三点共线时，$BP + CP$的长度最小，
　　此时点P为直线AC与抛物线对称轴的交点。将$x = 0$代入$y = -x^{2}-2x + 3$，得$y = 3$，
　　所以点C$(0,3)$。
　　设直线AC的解析式为$y = kx + b$，
　　将点A，C的坐标代入，得$\begin{cases}0 = -3k + b \\ 3 = b \end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 3 \\ k = 1 \end{cases}$，所以AC的解析式为$y = x + 3$。
　　抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，
　　将$x = -1$代入$y = x + 3$，得$y = 2$，
　　所以点P的坐标为$(-1,2)$。

22. (8 分)服装厂批发某种服装,每件成本为 65 元,规定不低于 10 件可以批发,其批发价 $ y $(元/件)与批发数量 $ x $(件)$ (x $ 为正整数)之间所满足的函数关系如图所示.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间所满足的函数关系式,并写出 $ x $ 的取值范围;
(2)设服装厂所获得的利润为 $ w $(元),若 $ 10 \leq x \leq 50 $($ x $ 为正整数),求批发该种服装多少件时,服装厂获得的利润最大? 最大利润是多少元?

答案： 解:
(1)当$10\leqslant x\leqslant50$时，设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$(10,100)$，$(50,80)$代入，
　　得$\begin{cases}10k + b = 100 \\ 50k + b = 80 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -0.5 \\ b = 105 \end{cases}$，
　　所以当$10\leqslant x\leqslant50$时，$y$与$x$的函数关系式为$y = -0.5x + 105$；
　　由题图可知，当$x＞50$时，$y = 80$，
　所以$y$与$x$的函数关系式为$y=\begin{cases}-0.5x + 105(10\leqslant x\leqslant50) \\ 80(x＞50) \end{cases}$
(2)由题意可得$w = (-0.5x + 105 - 65)x=-0.5x^{2}+40x=-0.5(x - 40)^{2}+800$，
　　因为$10\leqslant x\leqslant50$，
　所以当$x = 40$时，$w$取得最大值，
　此时$w_{最大}=800$。
　答:批发该种服装$40$件时，服装厂获得的利润最大，最大利润是$800$元。