《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

23. (8 分)用一段长 32 m 的篱笆和长 8 m 的墙,围成一个矩形的菜园.
(1)如图 1,如果矩形菜园的一边靠墙 $ AB $,另三边由篱笆 $ CD $,$ DE $,$ EF $ 围成.
①设 $ DE = x m $,直接写出菜园面积 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
②菜园的面积能不能等于 $ 110 m^2 $? 若能,求出此时 $ x $ 的值;若不能,请说明理由.
(2)如图 2,如果矩形菜园的一边由墙 $ AB $ 和一节篱笆 $ BF $ 构成,另三边由篱笆 $ AD $,$ DE $,$ EF $ 围成,求菜园的最大面积.

答案： 解:
(1)①由题意可得$CD = \frac{1}{2}(3２ - x)m$。
　故菜园面积$y$与$x$之间的函数关系式为$y = \frac{1}{2}(32 - x)x = -\frac{1}{2}x^{2}+16x(0＜x\leqslant8)$。②不能。
　理由:令$-\frac{1}{2}x^{2}+16x = 110$，
　解得$x_1 = 10$，$x_2 = 22$。
　因为$0＜x\leqslant8$，
　所以菜园的面积不能等于$110m^{2}$。
(2)设$DE = am$，菜园面积为$ym^{2}$，则
　　$y = \frac{1}{2}a[32 - a - (a - 8)]=-a^{2}+20a=-(a - 10)^{2}+100$。
　　因为$-1＜0$，
　　所以当$a = 10$时，函数$y$有最大值$100$，
　　即菜园的最大面积为$100m^{2}$。