《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

22. (8 分)如图,已知 DC 是⊙O 的直径,点 B 为 CD 延长线上一点,AB 是⊙O 的切线,点 A 为切点,且 AB = AC.
(1)求∠ACB 的度数;
(2)若⊙O 的半径为 3,求劣弧 AC 的长.

答案：
解:
(1)如图，连接OA.

因为AB是⊙O的切线，点A为切点，
所以∠BAO=90°.
又因为AB=AC，OA=OC，
所以∠B=∠ACB=∠OAC.
设∠ACB=x°，则在△ABC中，
x°+x°+x°+90°=180°，
解得x=30，
所以∠ACB的度数为30°.
(2)因为∠ACB=∠OAC=30°，
所以∠AOC=120°，
所以劣弧AC的长=(120π×3)/180=2π.

23. (8 分)如图,直线 AB 经过点 C,且 OA = OB,CA = CB.
(1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;
(2)若圆的半径为 4,∠B = 30°,求阴影部分的面积.

答案：
解:
(1)证明:连接OC.

因为在△OAB中，OA=OB，CA=CB，
所以OC⊥AB.
又因为OC是⊙O的半径，
所以直线AB是⊙O的切线.
(2)由
(1)，知∠OCB=90°.
又因为∠B=30°，
所以∠COB=90°-30°=60°，
所以$S_{扇形OCD}=(60π×4²)/360=8π/3.$
在Rt△OCB中，∠B=30°，OC=4，
所以OB=8，
所以BC=√(OB²-OC²)=√(8²-4²)=4√3，
所以$S_{△OCB}=1/2BC·OC=1/2×4√3×4=8√3，$
所以$S_{阴影}=S_{△OCB}-S_{扇形OCD}=8√3-8π/3.$