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24. (11 分)某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克 $30$ 元,物价部门规定其销售单价不高于每千克 $70$ 元,不低于每千克 $30$ 元. 经市场调查发现：日销售量 $y$(千克)是销售单价 $x$(元)的一次函数,且当 $x = 60$ 时,$y = 80$；当 $x = 50$ 时,$y = 100$. 在销售过程中,每天还要支付其他费用 $450$ 元.
(1)求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式,并写出自变量 $x$ 的取值范围；
(2)求该公司销售该原料的日获利 $w$(元)与销售单价 $x$(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大？最大为多少元？
(1)求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式,并写出自变量 $x$ 的取值范围；
(2)求该公司销售该原料的日获利 $w$(元)与销售单价 $x$(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大？最大为多少元？
答案：
解:
(1)设$y=kx+b$,因为当$x=60$时,$y=80$;当$x=50$时,$y=100$,根据题意,得$\begin{cases}60k+b=80,\\50k+b=100,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200,\end{cases}$所以$y=-2x+200(30\leqslant x\leqslant70)$.
(2)$w=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^{2}+260x-6450=-2(x-65)^{2}+2000$.
(3)$w=-2(x-65)^{2}+2000$,因为$30\leqslant x\leqslant70$,所以$x=65$时,w 有最大值为2000,所以当销售单价为65元时,该公司日获利最大,最大为2000元.
(1)设$y=kx+b$,因为当$x=60$时,$y=80$;当$x=50$时,$y=100$,根据题意,得$\begin{cases}60k+b=80,\\50k+b=100,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200,\end{cases}$所以$y=-2x+200(30\leqslant x\leqslant70)$.
(2)$w=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^{2}+260x-6450=-2(x-65)^{2}+2000$.
(3)$w=-2(x-65)^{2}+2000$,因为$30\leqslant x\leqslant70$,所以$x=65$时,w 有最大值为2000,所以当销售单价为65元时,该公司日获利最大,最大为2000元.
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