《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

25. (12 分)如图,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ D $ 与点 $ C $ 关于 $ x $ 轴对称.

(1)求点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标;
(2)求直线 $ BD $ 的解析式;
(3)在直线 $ BD $ 下方的抛物线上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle PBD $ 的面积最大? 若存在,求出点 $ P $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2 = 0$，
　解得$x_1 = -1$，$x_2 = 4$，
　所以$A(-1,0)$，$B(4,0)$，
　令$x = 0$，则$y = -2$，
　所以$C(0,-2)$。
(2)因为C，D两点关于$x$轴对称，$C(0,-2)$，所以$D(0,2)$。
　设直线BD的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，
　将$B(4,0)$，$D(0,2)$代入解析式，
　得$\begin{cases}4k + b = 0 \\ b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2} \\ b = 2 \end{cases}$，
所以直线BD的解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 2$。
(3)存在一点P，使得$\triangle PBD$的面积最大。
设$P(m,\frac{1}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m - 2)$。如图，过点P作$PE\perp x$轴于点F，与BD交于点E，
　　　　　　
则E点坐标为$(m,-\frac{1}{2}m + 2)$，
所以$PE = (-\frac{1}{2}m + 2)-(\frac{1}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m - 2)=-\frac{1}{2}m^{2}+m + 4$，
所以$S_{\triangle PBD}=\frac{1}{2}PE\cdot OB=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}m^{2}+m + 4)×4=-m^{2}+2m + 8=-(m - 1)^{2}+9$，
当$m = 1$时，$S_{\triangle PBD}$取得最大值，最大值为$9$，此时$\frac{1}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m - 2=-3$，
所以$P(1,-3)$。