《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

24. (11 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆 O 上的两点,OD//BC,OD 与 AC 交于点 E,若∠D = 70°.
(1)求∠CAD 的度数;
(2)若 AC = 8,DE = 2,求扇形 OAD 的面积.

答案： 解:
(1)因为OA=OD，∠D=70°，
所以∠OAD=∠D=70°，
所以∠AOD=180°-∠OAD-∠D=40°.
因为AB是半圆O的直径，
所以∠C=90°.
因为OD//BC，
所以∠AEO=∠C=90°，
即OD⊥AC，所以⌢AD=⌢CD，
所以∠CAD=1/2∠AOD=20°.
(2)因为AC=8，OE⊥AC，
所以AE=1/2AC=4.
设OA=x，则OE=OD-DE=x-2.
因为在Rt△OAE中，OE²+AE²=OA²，
所以(x-2)²+4²=x²，
解得x=5，
所以OA=5，
所以扇形OAD的面积为(40×π×5²)/360=25π/9.

25. (12 分)【学习心得】(1)在学习了《圆》以后,我们发现作辅助圆,利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题.
例:如图 1,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,点 D 是△ABC 外一点,且 AD = AC.求∠BDC 的度数.(将下列解题过程补充完整)

解:以点 A 为圆心,AB 长为半径作⊙A.
因为 AB = AC,AD = AC,
所以 C,D 两点都在⊙A 上.
因为 $\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BC}$,∠BAC = 90°,
所以∠BDC = ______°.(______)
【初步应用】
(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,∠BAD = ∠BCD = 90°,∠BDC = 24°,求∠BAC 的度数.

【方法迁移】
(3)如图 3,已知线段 AB 和直线 l,在直线 l 上求作一点 P,使∠APB = 30°,用直尺和圆规在 l 上作出所有符合条件的点 P.(不写作法,保留作图痕迹)

答案：
解:
(1)45 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(2)因为∠BAD=∠BCD=90°，
所以∠BAD+∠BCD=180°，
所以A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上.以BD为直径作出⊙O，如图.

因为⌢BC=⌢BC，
所以∠BAC=∠BDC=24°.
(3)如图所示，点P₁，P₂即为所求的点P.