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21. (8 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(m - 2)x - 2m = 0$.
(1)求证：无论 $m$ 为何实数,方程总有实数根；
(2)当 $m = -3$ 时,此方程的两个根分别是菱形 $ABCD$ 两条对角线的长,求菱形 $ABCD$ 的面积.
(1)求证：无论 $m$ 为何实数,方程总有实数根；
(2)当 $m = -3$ 时,此方程的两个根分别是菱形 $ABCD$ 两条对角线的长,求菱形 $ABCD$ 的面积.
答案：
解:
(1)证明:因为$\Delta=b^{2}-4ac=(m-2)^{2}-4×1×(-2m)=m^{2}-4m+4+8m=(m+2)^{2}\geqslant0$,所以无论 m 为何实数,方程总有实数根.
(2)当$m=-3$时,方程为$x^{2}-5x+6=0$,由根与系数的关系可得$x_{1}x_{2}=\dfrac{6}{1}=6$,所以$S_{菱形ABCD}=\dfrac{x_{1}x_{2}}{2}=3$,所以菱形 ABCD 的面积是3.
(1)证明:因为$\Delta=b^{2}-4ac=(m-2)^{2}-4×1×(-2m)=m^{2}-4m+4+8m=(m+2)^{2}\geqslant0$,所以无论 m 为何实数,方程总有实数根.
(2)当$m=-3$时,方程为$x^{2}-5x+6=0$,由根与系数的关系可得$x_{1}x_{2}=\dfrac{6}{1}=6$,所以$S_{菱形ABCD}=\dfrac{x_{1}x_{2}}{2}=3$,所以菱形 ABCD 的面积是3.
22. (8 分)已知二次函数的图象以 $A(-1,4)$ 为顶点,且过点 $B(2,-5)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将函数图象向右平移几个单位长度可以恰好经过原点？
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将函数图象向右平移几个单位长度可以恰好经过原点？
答案：
解:
(1)因为二次函数的图象以$A(-1,4)$为顶点,所以设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^{2}+4$.把$(2,-5)$代入,得$a\cdot9+4=-5$,解得$a=-1$,所以二次函数的解析式为$y=-(x+1)^{2}+4$.
(2)因为$y=-(x+1)^{2}+4$,所以当$y=0$时,$-(x+1)^{2}+4=0$,所以$(x+1)^{2}=4$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-3$,则抛物线与 x 轴的交点坐标为$(-3,0)$,$(1,0)$,所以将函数图象向右平移3个单位长度可以恰好经过原点.
(1)因为二次函数的图象以$A(-1,4)$为顶点,所以设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^{2}+4$.把$(2,-5)$代入,得$a\cdot9+4=-5$,解得$a=-1$,所以二次函数的解析式为$y=-(x+1)^{2}+4$.
(2)因为$y=-(x+1)^{2}+4$,所以当$y=0$时,$-(x+1)^{2}+4=0$,所以$(x+1)^{2}=4$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-3$,则抛物线与 x 轴的交点坐标为$(-3,0)$,$(1,0)$,所以将函数图象向右平移3个单位长度可以恰好经过原点.
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