《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

25. (12 分)如图,抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A(0,2)$,点 $B$ 是抛物线的顶点,直线 $x = 2$ 是抛物线的对称轴,且与 $x$ 轴交于点 $C$.

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点 $D$ 是对称轴左侧抛物线上一点,连接 $BD$,$\angle DBC = 45^{\circ}$,求点 $D$ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,若点 $M$ 是 $x$ 轴上方抛物线对称轴上一点,点 $P$ 在坐标平面内,且以点 $A$,$D$,$M$,$P$ 为顶点的四边形是以 $AD$ 为边的菱形,请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标.

答案： 解:
(1)因为抛物线$y=x^{2}+bx+c$与 y 轴交于点$A(0,2)$,直线$x=2$是抛物线的对称轴,所以$\begin{cases}c=2,\\-\dfrac{b}{2}=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=2,\\b=-4,\end{cases}$所以$y=x^{2}-4x+2$.
(2)由题意,得$C(2,0)$.因为$y=x^{2}-4x+2=(x-2)^{2}-2$,所以$B(2,-2)$,所以$BC=2$,$OC=2$,连接 OB(图略),则$\angle OBC=\angle BOC=45^{\circ}$.因为$\angle DBC=45^{\circ}$,所以点 D 是直线 OB 与抛物线的交点.设直线 OB 的解析式为$y=kx$.把$B(2,-2)$代入,得$k=-1$,所以$y=-x$.联立$\begin{cases}y=-x,\\y=x^{2}-4x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=-2\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}x=1,\\y=-1,\end{cases}$所以点 D 的坐标为$(1,-1)$.
(3)设$M(2,m)(m＞0)$.因为$D(1,-1)$,$A(0,2)$,所以$AD^{2}=(0-1)^{2}+[2-(-1)]^{2}=10$,$AM^{2}=(2-0)^{2}+(m-2)^{2}=(m-2)^{2}+4$,$DM^{2}=(2-1)^{2}+[m-(-1)]^{2}=(m+1)^{2}+1$.因为以点 A,D,M,P 为顶点的四边形是以 AD 为边的菱形,所以分两种情况:①当$AM=AD$时,则$(m-2)^{2}+4=10$,解得$m=2+\sqrt{6}$或$m=2-\sqrt{6}$(舍去),所以$M(2,2+\sqrt{6})$;②当$DM=AD$时,则$(m+1)^{2}+1=10$,解得$m=2$或$m=-4$(舍去),所以$M(2,2)$.综上,点 M 的坐标为$(2,2+\sqrt{6})$或$(2,2)$.