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23. (8分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x + 2m - 1 = 0 $ 有 $ x_{1},x_{2} $ 两个实数根.
(1)若 $ x_{1}= 1 $,求 $ x_{2} $ 及 $ m $ 的值;
(2)是否存在实数 $ m $,满足 $ (x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m - 5} $? 若存在,求出实数 $ m $ 的值;若不存在,请说明理由.
(1)若 $ x_{1}= 1 $,求 $ x_{2} $ 及 $ m $ 的值;
(2)是否存在实数 $ m $,满足 $ (x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m - 5} $? 若存在,求出实数 $ m $ 的值;若不存在,请说明理由.
答案：
23.解:根据题意,得Δ=(-6)²-4(2m-1)≥0,解得m≤5.根据根与系数的关系,得x₁+x₂=6,x₁x₂=2m-1.
(1)因为x₁=1,所以1+x₂=6,x₂=2m-1,所以x₂=5,m=3.
(2)存在.因为(x₁-1)(x₂-1)=$\frac{6}{m-5}$,所以x₁x₂-(x₁+x₂)+1=$\frac{6}{m-5}$,即2m-1-5=$\frac{6}{m-5}$,整理,得m²-8m+12=0,解得m₁=2,m₂=6.因为m≤5且m≠5,所以m=2.
(1)因为x₁=1,所以1+x₂=6,x₂=2m-1,所以x₂=5,m=3.
(2)存在.因为(x₁-1)(x₂-1)=$\frac{6}{m-5}$,所以x₁x₂-(x₁+x₂)+1=$\frac{6}{m-5}$,即2m-1-5=$\frac{6}{m-5}$,整理,得m²-8m+12=0,解得m₁=2,m₂=6.因为m≤5且m≠5,所以m=2.
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