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19. (6 分)已知二次函数 $y = x^{2}+2ax - 4$($a$ 为常数).
(1)若二次函数的图象经过点$(1,-5)$,求 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下,当$-1\leq x\leq4$ 时,请求出二次函数的最大值和最小值.
(1)若二次函数的图象经过点$(1,-5)$,求 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下,当$-1\leq x\leq4$ 时,请求出二次函数的最大值和最小值.
答案：
解:
(1)把$(1,-5)$代入$y=x^{2}+2ax-4$,得$-5=1+2a-4$,解得$a=-1$.
(2)因为$a=-1$,所以$y=x^{2}-2x-4$,所以对称轴为$x=-\dfrac{-2}{2×1}=1$.因为$1＞0$,所以抛物线开口向上.因为$-1\leqslant x\leqslant4$,所以当$x=1$时,取得最小值,为$y=1^{2}-2×1-4=-5$;因为$1-(-1)=2＜4-1=3$,所以当$x=4$时,取得最大值,为$y=4^{2}-2×4-4=4$.所以当$-1\leqslant x\leqslant4$时,二次函数的最大值为4,最小值为-5.
(1)把$(1,-5)$代入$y=x^{2}+2ax-4$,得$-5=1+2a-4$,解得$a=-1$.
(2)因为$a=-1$,所以$y=x^{2}-2x-4$,所以对称轴为$x=-\dfrac{-2}{2×1}=1$.因为$1＞0$,所以抛物线开口向上.因为$-1\leqslant x\leqslant4$,所以当$x=1$时,取得最小值,为$y=1^{2}-2×1-4=-5$;因为$1-(-1)=2＜4-1=3$,所以当$x=4$时,取得最大值,为$y=4^{2}-2×4-4=4$.所以当$-1\leqslant x\leqslant4$时,二次函数的最大值为4,最小值为-5.
20. (7 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$ 有两个不等的实数根 $x_{1}$,$x_{2}$.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1}+x_{2}= 7$,求 $k$ 的值及方程的根.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1}+x_{2}= 7$,求 $k$ 的值及方程的根.
答案：
解:
(1)因为关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+1=0$有两个不等的实数根,所以$\Delta＞0$,即$[-(2k+1)]^{2}-4×1×(k^{2}+1)＞0$,整理得$4k-3＞0$,解得$k＞\dfrac{3}{4}$,故 k 的取值范围为$k＞\dfrac{3}{4}$.
(2)因为方程的两个根为$x_{1},x_{2}$,所以$x_{1}+x_{2}=2k+1=7$,解得$k=3$,所以原方程为$x^{2}-7x+10=0$,解得$x_{1}=5$,$x_{2}=2$.
(1)因为关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+1=0$有两个不等的实数根,所以$\Delta＞0$,即$[-(2k+1)]^{2}-4×1×(k^{2}+1)＞0$,整理得$4k-3＞0$,解得$k＞\dfrac{3}{4}$,故 k 的取值范围为$k＞\dfrac{3}{4}$.
(2)因为方程的两个根为$x_{1},x_{2}$,所以$x_{1}+x_{2}=2k+1=7$,解得$k=3$,所以原方程为$x^{2}-7x+10=0$,解得$x_{1}=5$,$x_{2}=2$.
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