《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

5. 定义：直线$l_1与l_2相交于点O$,对于平面内任意一点$M$,点$M到直线l_1$,$l_2的距离分别为p$,$q$,则称有序实数对$(p,q)是点M$的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是$(1,2)$的点的个数是 (C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 【解析】：
首先，我们根据“距离坐标”的定义，知道需要找到到直线$l_1$距离为1，到直线$l_2$距离为2的点。
考虑到这样的点应该位于与$l_1$平行且距离为1的两条直线，和与$l_2$平行且距离为2的两条直线上。
由于这4条直线两两相交，会形成4个交点，这4个交点就是满足条件的点，即“距离坐标”为$(1,2)$的点。
为了更直观地理解，可以想象在两条相交直线的四个区域（由$l_1$和$l_2$划分）内，每个区域都有一个点到$l_1$的距离为1且到$l_2$的距离为2。
因此，“距离坐标”为$(1,2)$的点共有4个。
【答案】：C

1. 已知一次函数$y = 3x - 5与y = 2x + b的图象的交点坐标为点P(1,-2)$,求方程组$\begin{cases}y = 3x - 5,\\y = 2x + b\end{cases} 的解和b$的值.
方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$，$b=-4$

答案： 【解析】：
由于点$P(1, -2)$是两个一次函数$y = 3x - 5$和$y = 2x + b$的交点，
那么这一点也应该是对应的方程组的解。
首先，我们验证点$P(1, -2)$是否满足方程$y = 3x - 5$：
将$x = 1$代入得：$y = 3 × 1 - 5 = -2$，
这与点$P$的$y$坐标相符。
接着，我们用点$P(1, -2)$来求$b$的值。
将$x = 1$和$y = -2$代入方程$y = 2x + b$，
我们得到：$-2 = 2 × 1 + b$，
解这个方程，我们得到：$b = -4$。
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1, \\y = -2.\end{cases}$
并且$b = -4$。
【答案】：
$\begin{cases}x = 1, \\y = -2.\end{cases}$；$b = -4$。

2. 如图2-8所示,$AB// CD$,$AB = CD$,点$E$,$F在BC$上,且$BE = CF$.
求证：四边形$AFDE$是平行四边形.

证明：因为 $AB // CD$，所以$\angle B = \angle C$。在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$AB = CD$，$\angle B = \angle C$，又因为$BE = CF$，所以$BE + EF= CF + EF$，即$BF = CE$。因此$\triangle ABF≌\triangle DCE(SAS)$，所以$AF = DE$，$\angle AFB=\angle DEC$。进而可得$\angle AFE=\angle DEF$，所以$AF // DE$。因为$AF = DE$且$AF // DE$，所以四边形$AFDE$是平行四边形。

答案： 【解析】：因为 $AB // CD$，所以$\angle B = \angle C$。在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$AB = CD$，$\angle B = \angle C$，又因为$BE = CF$，所以$BE + EF= CF + EF$，即$BF = CE$。因此$\triangle ABF≌\triangle DCE(SAS)$，所以$AF = DE$，$\angle AFB=\angle DEC$。进而可得$\angle AFE=\angle DEF$，所以$AF // DE$。因为$AF = DE$且$AF // DE$，所以四边形$AFDE$是平行四边形。
【答案】：四边形$AFDE$是平行四边形。