《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

2. 如图 5-13 所示,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$EF过点O分别交AD$,$BC于点E$,$F$. 求证：$OE= OF$.
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$OA = OC$。由于$AD// BC$，可得$\angle OAE=\angle OCF$，$\angle OEA = \angle OFC$。在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle OAE=\angle OCF\\\angle OEA=\angle OFC\\OA = OC\end{array}\right.$，根据AAS全等判定定理，可证$\triangle AOE\cong\triangle COF$，因此$OE = OF$。

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对角线互相平分，
所以$OA = OC$，$AD// BC$，
由$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，
可得$\angle OAE=\angle OCF$，
又因为对顶角相等，所以$\angle AOE = \angle COF$，
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中：
$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF,\\OA = OC,\\\angle AOE = \angle COF.\end{cases}$
根据“角边角”（$ASA$）定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$，
全等三角形的对应边相等，所以$OE = OF$。
【答案】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$AD// BC$，则$\angle OAE=\angle OCF$，又$\angle AOE = \angle COF$，所以$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，故$OE = OF$。

3. 莲城超市以 10 元/件的价格购进一批商品,根据前期销售情况,每天销售量$y$(件)与该商品定价$x$(元)是一次函数关系,如图 5-14 所示.
(1)求销售量$y$(件)与定价$x$(元)之间的函数关系式；$y = -2x + 32$
(2)如果该商品的定价为 13 元,不考虑其他因素,求超市每天销售这种商品所获得的利润.18

答案： 【解析】：
(1) 设销售量与定价之间的函数关系式为 $y = kx + b$。
由图可知，当 $x = 11$ 时，$y = 10$；当 $x = 15$ 时，$y = 2$。
可以列出以下方程组：
$\begin{cases}11k + b = 10, \\15k + b = 2.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第二个方程中减去第一个方程，得：
$4k = -8 \implies k = -2$，
将 $k = -2$ 代入第一个方程，得：
$11(-2) + b = 10 \implies b = 32$，
因此，销售量与定价之间的函数关系式为 $y = -2x + 32$。
(2) 当定价为 13 元时，代入函数关系式 $y = -2x + 32$，
得到销售量 $y = -2 × 13 + 32 = 6$（件）。
利润 $= (售价 - 进价) × 销售量 = (13 - 10) × 6 = 18$（元）。
【答案】：
(1) $y = -2x + 32$；
(2) 18 元。

能否将下列描述的变化过程中变量之间的关系看成函数？
(1)小车下滑过程中下滑时间$t与支撑物高度h$之间的关系；
(2)三角形一边上的高一定时,三角形的面积$S与该边的长度x$之间的关系.

答案： 【解析】：
(1)在小车下滑的过程中，每一个特定的支撑物高度$h$都对应一个特定的下滑时间$t$，这满足函数的定义，即对于自变量$h$的每一个取值，因变量$t$都有唯一的值与之对应。所以小车下滑过程中下滑时间$t$与支撑物高度$h$之间的关系可以看作函数关系。
(2)当三角形一边上的高一定时，对于该边的每一个长度$x$，三角形的面积$S$都有唯一的值与之对应（根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × \text{底} × \text{高}$，高一定时，底$x$确定则面积$S$确定）。这同样满足函数的定义，所以三角形的面积$S$与该边的长度$x$之间的关系可以看作函数关系。
【答案】：
(1)是函数关系；
(2)是函数关系。