《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

2. 如图4-11所示,$A$,$B$两座城市相距100km,现计划要在两座城市之间修筑一条高速公路(即线段$AB$). 经测量,森林保护区中心点$P在A城市的北偏东30^{\circ}$方向,$B城市的北偏西45^{\circ}$方向上. 已知森林保护区的范围在以$P$为圆心,50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿过森林保护区？为什么？

计划修筑的这条高速公路会穿过森林保护区。

答案： 【解析】：
过点$P$作$PD\perp AB$，垂足为$D$。
设$AD=x$ km，
在$Rt\triangle AEP$中，$\angle EAP = 30^{\circ}$，
因为$\tan30^{\circ}=\frac{PD}{AD}$，
所以$PD = AD×\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
在$Rt\triangle PDB$中，$\angle FBP = 45^{\circ}$，
所以$\angle PBD = 45^{\circ}$，
则$PD = BD$，
因为$AB = 100$ km，$AB = AD + BD$，
即$100 = x+\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
解得$x = 50(3 - \sqrt{3})$，
所以$PD=\frac{\sqrt{3}}{3}×50(3 - \sqrt{3}) = 50(\sqrt{3}-1)\approx50×(1.732 - 1)=50×0.732 = 36.6$（km）。
因为$36.6\lt50$，
所以高速公路会穿过森林保护区。
【答案】：
会；因为$P$到$AB$的距离$PD\approx36.6\lt50$。

3. 如图4-12所示,在$\triangle ABC$中,点$O是边AC$上一个动点,过点$O作直线MN// BC$. 设$MN交\angle ACB的平分线于点E$,交$\angle ACB的外角平分线于点F$.
(1)求证：$OE = OF$；
(2)若$CE = 12$,$CF = 5$,求$OC$的长；6.5
(3)当点$O在边AC$上运动到什么位置时,四边形$AECF$是矩形？请说明理由.AC中点

答案： 【解析】：
(1)证明：
$\because MN// BC$，
$\therefore \angle OEC = \angle ECB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CE$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle ACE = \angle ECB$。
$\therefore \angle OEC = \angle ACE$。
$\therefore OE = OC$（等角对等边）。
同理可得：$OC = OF$。
$\therefore OE = OF$。
(2)由
(1)知$OE = OF = OC$。
$\because CE$平分$\angle ACB$，$CF$平分$\angle ACD$，
$\therefore \angle ECF = 90^\circ$（平角为$180^\circ$）。
$\because CE = 12$，$CF = 5$，
$\therefore EF = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$，
$\therefore OC = \frac{1}{2}EF = 6.5$。
(3)当点$O$移动到$AC$的中点时，四边形$AECF$为矩形。
理由如下：
由
(1)知$OE = OF$，
又$\because O$为$AC$中点，
$\therefore OA = OC$，
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
$\because \angle ECF = 90^\circ$，
$\therefore$四边形$AECF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)$OC = 6.5$；
(3)当点$O$移动到$AC$的中点时，四边形$AECF$为矩形，理由见解析。

把自然数按图4-13所示的次序排在平面直角坐标系中,每个自然数对应着一个坐标. 如1对应点的坐标是原点$(0,0)$,3对应点的坐标是$(1,1)$,16对应点的坐标是$(-1,2)$. 那么2024对应点的坐标为____(21,22).

答案： 【解析】：观察图形可知，自然数的排列呈现出以原点为中心的“回”字形结构，我们可以通过分析不同“层”的数字分布规律来确定2024的坐标。
首先，确定“层”的划分。设第$ n $层（$ n \geq 0 $）的最大数字为$ m_n $。通过观察图形可得：
第0层（中心）：数字1，对应坐标$(0,0)$，此时$ m_0 = 1 = (2×0 + 1)^2 $
第1层：数字范围2 - 9，最大数字9，$ m_1 = 9 = (2×1 + 1)^2 $
第2层：数字范围10 - 25，最大数字25，$ m_2 = 25 = (2×2 + 1)^2 $
第3层：数字范围26 - 49，最大数字49，$ m_3 = 49 = (2×3 + 1)^2 $
由此可归纳出第$ n $层的最大数字$ m_n = (2n + 1)^2 $。
接下来，确定2024所在的层数。计算：
$ 44^2 = 1936 $，$ 45^2 = 2025 $，$ 46^2 = 2116 $
因为$ 45^2 = 2025 $，所以2025是第$ n $层的最大数字，由$ m_n = (2n + 1)^2 = 2025 $，解得$ 2n + 1 = 45 $，$ n = 22 $，即2025是第22层的最大数字，所以2024在第22层。
第22层的数字范围是从$ (2×21 + 1)^2 + 1 = 43^2 + 1 = 1849 + 1 = 1850 $到2025，共$ 2025 - 1849 = 176 $个数，这一层每条边有$ 2×22 = 44 $个数（不含重复的顶点）。
第22层的四个顶点坐标及对应数字规律如下（从最大数字2025开始按逆时针方向）：
右上角顶点：坐标$(22, 22)$，数字为$ m_n = 2025 $
左上角顶点：坐标$(-22, 22)$，数字为$ 2025 - 44 = 1981 $（沿上边缘向左移动44个数）
左下角顶点：坐标$(-22, -22)$，数字为$ 1981 - 44 = 1937 $（沿左边缘向下移动44个数）
右下角顶点：坐标$(22, -22)$，数字为$ 1937 - 44 = 1893 $（沿下边缘向右移动44个数）
回到右上角顶点：数字为$ 1893 - 44 = 1849 $（沿右边缘向上移动44个数），与该层起始数字1850衔接。
2024比右上角顶点数字2025小$ 2025 - 2024 = 1 $，所以2024在右上角顶点的左侧1个单位处。右上角顶点坐标为$(22, 22)$，向左移动1个单位，横坐标减1，纵坐标不变，因此2024的坐标为$(22 - 1, 22) = (21, 22)$。
【答案】：(21,22)