《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

5. 超市某种商品的单价为70元/件,若买$x件该商品的总价为y$元,则其中的常量是(70)
A.70
B.$x$
C.$y$
D.不能确定

答案： 【解析】：在一个变化过程中，数值保持不变的量称为常量，数值发生变化的量称为变量。题目中商品的单价为70元/件，这个单价在购买过程中不会发生改变，所以70是常量；购买的件数x和总价y会随着购买情况的不同而变化，因此x和y是变量。
【答案】：A

1. 如图8-3所示,菱形$ABCD的周长为8\sqrt {5}$,对角线$AC和BD相交于点O$,$AC:BD= 1:2$,则$AO:BO= $1:2,菱形$ABCD的面积S= $16.

答案： 【解析】：
已知菱形$ABCD$的周长为$8\sqrt{5}$，所以每条边的长度为：
$\text{边长} = \frac{8\sqrt{5}}{4} = 2\sqrt{5}$
对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，且$AC:BD = 1:2$。
设$AC = x$，则$BD = 2x$。
菱形的对角线互相垂直且平分，所以$AO = \frac{AC}{2} = \frac{x}{2}$，$BO = \frac{BD}{2} = x$。
因此，$AO:BO = \frac{x}{2}:x = 1:2$。
菱形的面积公式为：
$S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × x × 2x = x^2$
由于$AO = \frac{x}{2}$，$BO = x$，根据勾股定理：
$(\frac{x}{2})^2 + x^2 = (2\sqrt{5})^2$
$\frac{x^2}{4} + x^2 = 20$
$\frac{5x^2}{4} = 20$
$x^2 = 16$
$x = 4$
所以，$AC = 4$，$BD = 8$。
菱形的面积：
$S = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16$
【答案】：
$AO:BO = 1:2$
菱形$ABCD$的面积$S = 16$

2. 如图8-4所示,已知直线$l:y= \sqrt {3}x$,过点$M(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N$,过点$N作直线l的垂线交x轴于点M_{1}$；过点$M_{1}作x轴的垂线交直线l于点N_{1}$,过点$N_{1}作直线l的垂线交x轴于点M_{2}$……按此作法继续下去,则点$M_{10}$的坐标为____(2097152,0).

答案： 【解析】：
1. 已知直线 $ l: y = \sqrt{3}x $，点 $ M(2,0) $，过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ l $ 于点 $ N $。
点 $ N $ 的坐标为 $ (2, 2\sqrt{3}) $。
2. 过点 $ N $ 作直线 $ l $ 的垂线交 $ x $ 轴于点 $ M_1 $。
直线 $ l $ 的斜率为 $ \sqrt{3} $，垂线的斜率为 $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $。
垂线方程为 $ y - 2\sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 2) $。
令 $ y = 0 $，解得 $ x = 8 $，即 $ M_1(8,0) $。
3. 过点 $ M_1 $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ l $ 于点 $ N_1 $。
点 $ N_1 $ 的坐标为 $ (8, 8\sqrt{3}) $。
4. 过点 $ N_1 $ 作直线 $ l $ 的垂线交 $ x $ 轴于点 $ M_2 $。
垂线方程为 $ y - 8\sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 8) $。
令 $ y = 0 $，解得 $ x = 32 $，即 $ M_2(32,0) $。
5. 观察规律，发现 $ M_n $ 的横坐标每次乘以 4。
$ M_0(2,0) $
$ M_1(8,0) = (2 × 4, 0) $
$ M_2(32,0) = (8 × 4, 0) $
以此类推，$ M_n $ 的横坐标为 $ 2 × 4^n $。
6. 因此，$ M_{10} $ 的横坐标为 $ 2 × 4^{10} = 2097152 $。
【答案】：$(2097152, 0)$

3. 已知直角三角形的面积为$30cm^{2}$,一直角边长为12cm,则斜边长为____13.

答案： 【解析】：
设直角三角形的另一直角边长为 $x \, \text{cm}$。
根据直角三角形的面积公式，面积 $S = \frac{1}{2} × \text{直角边1} × \text{直角边2}$，
我们有：$30 = \frac{1}{2} × 12 × x$，
解这个方程，我们得到：$x = 5 \, \text{cm}$，
接下来，我们使用勾股定理来求斜边的长度。
设斜边长为 $c \, \text{cm}$，根据勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$，
我们有：$c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}$，
故答案为：$13 \, \text{cm}$。
【答案】：$13cm$

4. 如图8-5所示,在正方形$ABCD$中,边长为2的等边三角形$AEF的顶点E$,$F分别在BC和CD$上,下列结论：①$CE= CF$；②$∠AEB= 75^{\circ }$；③$BE+DF= EF$. 其中正确的序号是____①②.

答案： 【解析】：
对于①：
因为$ABCD$是正方形，所以$AB = AD = BC = CD = 2$，$\angle B = \angle D = 90^\circ$。
因为$\triangle AEF$是等边三角形，所以$AE = AF = EF$。
根据直角三角形全等（HL）性质，$Rt\triangle ABE \cong Rt\triangle ADF$，所以$BE = DF$，进而$CE = CF$。故①正确。
对于②：
因为$BE = DF$，且$BC = CD$，所以$CE = CF$。
$\triangle CEF$是等腰直角三角形，$\angle CEF = \angle CFE = 45^\circ$。
$\angle AEB + \angle AFD = 360^\circ - \angle A - \angle C - \angle CEF - \angle CFE = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 120^\circ$。
因为$\angle AEB = \angle AFD$，所以$\angle AEB = 120^\circ ÷ 2 = 75^\circ$。故②正确。
对于③：
延长$CD$至点$G$，使得$DG = BE$，则$\triangle ABE \cong \triangle ADG$，$AB = AD$，$BE = DG$，$\angle B = \angle ADG = 90^\circ$。
所以$AE = AG$，$\angle BAE = \angle DAG$。
因为$\angle EAF = 60^\circ$，所以$\angle GAF = \angle DAG + \angle DAF = \angle BAE + \angle DAF = 30^\circ \neq 60^\circ$。
$\triangle GAF \neq \triangle EAF$，所以$GF \neq EF$，即$BE + DF \neq EF$。故③错误。
【答案】：①②

5. 某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图8-6所示的不完整的统计图,已知乘公交车上学的学生有20人,骑车上学的学生有26人,则乘公交车上学的学生人数在扇形统计图中对应的扇形的圆心角的度数为____144°.

答案： 1. 首先，根据骑车上学人数及所占比例求总人数：
设总人数为$x$人，已知骑车上学的学生占$52\%$，且骑车上学的学生有$26$人。
根据公式$部分量 = 总量×比例$，则$x×52\%=26$，即$x=\frac{26}{0.52}=50$人。
2. 然后，根据乘公交车上学人数和总人数求其占比：
已知乘公交车上学的学生有$20$人，总人数$x = 50$人，那么乘公交车上学的学生占比为$\frac{20}{50}=0.4$。
3. 最后，根据圆心角公式求圆心角度数：
在扇形统计图中，圆心角的度数$=$该部分占比$×360^{\circ}$。
所以乘公交车上学的学生人数在扇形统计图中对应的扇形的圆心角的度数为$0.4×360^{\circ}=144^{\circ}$。
故答案为$144^{\circ}$。