《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 下列调查,适合用全面调查(普查)方式进行调查的是(D)
A.了解一批炮弹的杀伤半径
B.了解某栏目的收视率
C.了解长江中鱼的种类
D.了解某班学生的理想

答案： 【解析】：
A. 了解一批炮弹的杀伤半径：由于炮弹的杀伤半径测试具有破坏性，且通常不需要对每一枚炮弹都进行测试，因此更适合采用抽样调查。故A选项不适合全面调查。
B. 了解某栏目的收视率：收视率调查通常涉及大量观众，全面调查将耗费大量时间和资源。因此，更适合采用抽样调查来估算整体收视率。故B选项不适合全面调查。
C. 了解长江中鱼的种类：长江中的鱼种类繁多，且数量庞大，全面调查不仅难以实现，而且成本高昂。因此，更适合采用抽样或其他科学方法进行调查。故C选项不适合全面调查。
D. 了解某班学生的理想：由于调查对象是一个班级的学生，数量相对较少，且调查内容不涉及敏感或隐私信息，因此适合进行全面调查，以获取准确的结果。
【答案】：D

4. 函数$y= \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}的自变量x$的取值范围是(A)
A.$x\geq1且x\neq3$
B.$x\geq1$
C.$x\neq3$
D.$x＞1且x\neq3$

答案： 【解析】：要确定函数$y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$的自变量$x$的取值范围，需考虑两个方面：一是二次根式的被开方数非负，二是分式的分母不为零。
对于二次根式$\sqrt{x - 1}$，被开方数$x - 1$必须大于等于$0$，即$x - 1 \geq 0$，解得$x \geq 1$。
对于分式$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$，分母$x - 3$不能等于$0$，即$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$。
综合以上两个条件，自变量$x$的取值范围是$x \geq 1$且$x \neq 3$。
【答案】：A

5. 若$y= (m - 1)x^{2 - |m|}+3是关于x$的一次函数,则$m$的值为(B)
A.1
B.-1
C.$\pm1$
D.$\pm2$

答案： 【解析】：
首先，我们需要确定$y = (m - 1)x^{2 - |m|} + 3$是关于$x$的一次函数。
一次函数的一般形式为$y = kx + b$，其中$k$和$b$为常数，$k \neq 0$，且$x$的次数为$1$。
对于给定的函数，我们需要满足两个条件：
$x$的次数为$1$，即$2 - |m| = 1$。
$x$的系数$m - 1$不能为$0$，即$m - 1 \neq 0$。
解第一个方程$2 - |m| = 1$，我们得到$|m| = 1$，即$m = \pm 1$。
然后解第二个不等式$m - 1 \neq 0$，我们得到$m \neq 1$。
综合两个条件，我们得出$m = -1$。
【答案】：B

1. 在一次函数$y = - 2x + b$中,当$x = 1$时,$y＜1$；当$x = - 1$时,$y＞0$. 那么$b$的取值范围是$-2＜b＜3$.

答案： 【解析】：当$x = 1$时，$y=-2×1 + b=b - 2$，因为此时$y＜1$，所以$b - 2＜1$，解得$b＜3$；当$x=-1$时，$y=-2×(-1)+b=2 + b$，因为此时$y＞0$，所以$2 + b＞0$，解得$b＞-2$。综上，$b$的取值范围是$-2＜b＜3$。
【答案】：$-2＜b＜3$

2. 若一次函数$y = kx + 1$($k$为常数,$k\neq0$)的图象经过第一、二、三象限,则$k$的取值范围是$k＞0$.

答案： 【解析】：一次函数$y = kx + 1$（$k\neq0$）的图象经过第一、二、三象限。对于一次函数$y = kx + b$，当$k＞0$时，函数图象从左到右上升；当$b＞0$时，函数图象与$y$轴交于正半轴。在本题中，$b = 1$，$1＞0$，所以函数图象与$y$轴交于正半轴（第二象限和第一象限的部分）。要使函数图象经过第一、二、三象限，需要满足$k＞0$，此时函数从左到右上升，会经过第三象限和第一象限，结合与$y$轴交于正半轴，就会经过第一、二、三象限。
【答案】：$k＞0$

3. 如图4-2所示,$E为矩形ABCD的边CD$上一点,$AB = AE$,$\angle DEA = 30^{\circ}$,则$\angle BEC= $____75°.

答案： 【解析】：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠C=90°，AB//CD。
因为∠DEA=30°，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE=2AD（直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半），且∠DAE=60°。
已知AB=AE，设AD=BC=a，则AE=AB=2a，DE=√(AE² - AD²)=√((2a)² - a²)=√3a。
因为AB=CD=2a，所以CE=CD - DE=2a - √3a=(2 - √3)a。
在Rt△BCE中，tan∠BEC=BC/CE=a/[(2 - √3)a]=1/(2 - √3)=2 + √3（分母有理化：分子分母同乘2 + √3）。
因为tan75°=tan(45° + 30°)=(tan45° + tan30°)/(1 - tan45°tan30°)=(1 + √3/3)/(1 - 1×√3/3)=(3 + √3)/(3 - √3)=(3 + √3)²/(9 - 3)=(12 + 6√3)/6=2 + √3，所以∠BEC=75°。
【答案】：75°

4. 如图4-3所示,$E$,$F是正方形ABCD的边AD$上的两个动点,满足$AE = DF$. 连接$CF交BD于点G$,连接$BE交AG于点H$. 若正方形的边长为2,则线段$DH$长度的最小值是____$\sqrt{5} - 1$.

答案： 【解析】：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。则正方形各顶点坐标为：A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)。
设AE = DF = t（0 ≤ t ≤ 2），则E点坐标为(0,t)，F点坐标为(2 - t, 2)。
求点G坐标：
直线CF的方程：C(2,2)，F(2 - t,2)，由于两点纵坐标相同，CF为水平线y=2。
直线BD的方程：B(2,0)，D(0,2)，斜率为-1，方程为y = -x + 2。
联立CF与BD：y=2代入y=-x+2，得x=0，故G点坐标为(0,2)。（注：此处原解析有误，修正后CF应为连接C(2,2)与F(t,2)？不，题目中F在AD上，AD为y轴，故F点坐标应为(t,2)？重新梳理：AD边为从A(0,0)到D(0,2)，故E、F在AD上，坐标应为E(0,a)，F(0,b)，且AE = DF。AE长度为a - 0 = a，DF长度为2 - b，故a = 2 - b，即b = 2 - a。设E(0,a)，则F(0,2 - a)，其中0 ≤ a ≤ 2。
此时直线CF：C(2,2)，F(0,2 - a)，斜率为$\frac{2 - (2 - a)}{2 - 0} = \frac{a}{2}$，方程为$y - 2 = \frac{a}{2}(x - 2)$，即$y = \frac{a}{2}x + 2 - a$。
直线BD：y = -x + 2。
联立CF与BD：$\frac{a}{2}x + 2 - a = -x + 2$，解得$x = \frac{2a}{a + 2}$，代入y = -x + 2得$y = 2 - \frac{2a}{a + 2} = \frac{4}{a + 2}$，故G$\left(\frac{2a}{a + 2}, \frac{4}{a + 2}\right)$。
求点H坐标：
直线AG：A(0,0)，G$\left(\frac{2a}{a + 2}, \frac{4}{a + 2}\right)$，斜率为$\frac{\frac{4}{a + 2}}{\frac{2a}{a + 2}} = \frac{2}{a}$，方程为$y = \frac{2}{a}x$。
直线BE：B(2,0)，E(0,a)，斜率为$-\frac{a}{2}$，方程为$y = -\frac{a}{2}(x - 2) = -\frac{a}{2}x + a$。
联立AG与BE：$\frac{2}{a}x = -\frac{a}{2}x + a$，两边同乘2a得$4x = -a^2x + 2a^2$，解得$x = \frac{2a^2}{a^2 + 4}$，代入$y = \frac{2}{a}x$得$y = \frac{4a}{a^2 + 4}$，故H$\left(\frac{2a^2}{a^2 + 4}, \frac{4a}{a^2 + 4}\right)$。
求DH长度：
D(0,2)，H$\left(\frac{2a^2}{a^2 + 4}, \frac{4a}{a^2 + 4}\right)$，则$DH^2 = \left(\frac{2a^2}{a^2 + 4} - 0\right)^2 + \left(\frac{4a}{a^2 + 4} - 2\right)^2$。
化简得：
$DH^2 = \frac{4a^4}{(a^2 + 4)^2} + \left(\frac{4a - 2a^2 - 8}{a^2 + 4}\right)^2 = \frac{4a^4 + ( -2a^2 + 4a - 8)^2}{(a^2 + 4)^2}$。
展开分子：
$4a^4 + 4a^4 - 16a^3 + 48a^2 - 64a + 64 = 8a^4 - 16a^3 + 48a^2 - 64a + 64$，化简得$8(a^4 - 2a^3 + 6a^2 - 8a + 8)$。
分母：$(a^2 + 4)^2$。
令$t = a^2 + 4$，则$a^2 = t - 4$，但更简便的是设$m = a^2 + 4$，则$DH^2 = \frac{4a^4 + 4(a^2 - 2a + 4)^2}{m^2} = \frac{4\left[a^4 + (a^2 - 2a + 4)^2\right]}{m^2}$，进一步化简得$DH^2 = \left(\frac{2a^2 - 4a + 8}{a^2 + 4}\right)^2$，开方得$DH = \frac{2a^2 - 4a + 8}{a^2 + 4}$（因分子恒正）。
变形为$DH = 2 - \frac{4a}{a^2 + 4}$，设$k = \frac{4a}{a^2 + 4}$，则$DH = 2 - k$，求DH最小值即求k最大值。
由均值不等式，$a^2 + 4 \geq 4a$（当且仅当a=2时取等），故$k = \frac{4a}{a^2 + 4} \leq 1$，但此时DH=2-1=1，这与后续几何法矛盾，说明代数变形有误。
几何法：
观察H点坐标$\left(\frac{2a^2}{a^2 + 4}, \frac{4a}{a^2 + 4}\right)$，设$x = \frac{2a^2}{a^2 + 4}$，$y = \frac{4a}{a^2 + 4}$，消去a：$x = \frac{2a^2}{a^2 + 4}$，$y^2 = \frac{16a^2}{(a^2 + 4)^2} = \frac{8a^2}{a^2 + 4} \cdot \frac{2}{a^2 + 4} = 4x \cdot \frac{2}{a^2 + 4}$，又$a^2 = \frac{4x}{2 - x}$（由$x = \frac{2a^2}{a^2 + 4}$解得），代入得$y^2 = -4x + 4$，即$x^2 + (y - 1)^2 = 1$（配方：$x^2 + y^2 - 2y + 1 = 1$，$x^2 + y^2 = 2y$，将H坐标代入满足此式）。
故H在以(0,1)为圆心，1为半径的圆上（除去(0,0)）。
点D(0,2)到圆心(0,1)距离为1，圆半径为1，故DH最小值为圆心距减去半径：1 - 1 = 0？不，圆方程为$x^2 + (y - 1)^2 = 1$，圆心O(0,1)，半径r=1，D(0,2)与O距离OD=1，故DH最小值为OD - r = 1 - 1 = 0？但H不能与D重合。
重新验证：H在圆$x^2 + (y - 1)^2 = 1$上，D(0,2)在圆上（代入满足方程），故H的轨迹是该圆，DH为圆上两点距离，最小值为0，但H与D重合时，a无解，故需用几何法：
DH的最小值为点D到圆心O(0,1)的距离减去半径，即OD - r = 1 - 1 = 0（错误），正确应为：
圆心O(0,1)，半径r=1，D(0,2)在圆上，H为圆上动点，故DH最小值为0（当H=D时），但H=D时，$\frac{2a^2}{a^2 + 4}=0$且$\frac{4a}{a^2 + 4}=2$，无解，故H的轨迹是圆$x^2 + (y - 1)^2 = 1$的一部分。
正确配方：$x^2 + (y - 1)^2 = 1$，圆心(0,1)，半径1，D(0,2)到圆心距离为1，故DH的最小值为$\sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 1)^2} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 0$（矛盾），重新计算H的轨迹方程：
由$x = \frac{2a^2}{a^2 + 4}$，$y = \frac{4a}{a^2 + 4}$，则$x^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{2a^2}{m}\right)^2 + \left(\frac{4a}{m} - 1\right)^2$（m = a² + 4），展开得$\frac{4a^4 + (4a - m)^2}{m^2} = \frac{4a^4 + 16a^2 - 8a m + m^2}{m^2}$，将m = a² + 4代入，分子=4a⁴ + 16a² - 8a(a² + 4) + (a² + 4)² = 4a⁴ + 16a² - 8a³ - 32a + a⁴ + 8a² + 16 = 5a⁴ - 8a³ + 24a² - 32a + 16，并非等于m²，故之前配方错误。
正确方法：设H(x,y)，则$y = \frac{2}{a}x$（由AG方程），且$y = -\frac{a}{2}x + a$（由BE方程），消去a得$y = -\frac{2x}{y}x + \frac{2x}{y}$（因a = $\frac{2x}{y}$），整理得$y² + 2x² = 2x$，即$2x² - 2x + y² = 0$，配方：$2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y² = \frac{1}{2}$，即$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{y²}{\frac{1}{2}} = 1$，这是一个椭圆，计算复杂。
重新几何分析：
易证△ADG ≌ △CDG（SAS），∠DAG = ∠DCG，又∠DCG + ∠BCG = 90°，∠ABE = ∠BCG（因△ABE ≌ △DCF，故∠ABE = ∠DCF），则∠DAG + ∠ABE = 90°，故∠AHB = 90°，即H在以AB为直径的圆上？AB中点(1,0)，半径1，方程$(x - 1)^2 + y^2 = 1$。
验证H是否满足：取a=0（E与A重合，F与D重合），H(0,0)在圆上；a=2（E与D重合，F与A重合），H(2,0)在圆上；a=1（E、F中点），H$\left(\frac{2×1}{1 + 4}, \frac{4×1}{1 + 4}\right)=\left(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$，代入$(\frac{2}{5} - 1)^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$，满足！故H在以AB中点O(1,0)为圆心，半径1的圆上。
最终：H在圆$(x - 1)^2 + y^2 = 1$上，点D(0,2)到圆心O(1,0)距离为$\sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{5}$，故DH最小值为$\sqrt{5} - 1$（圆心距减半径）。
【答案】：$\sqrt{5} - 1$

5. 如图4-4所示,在$\triangle ABC$中,$AD$是中线,$AE$是角平分线,$CF\perp AE于点F$,$AB = 5$,$AC = 3$,则$DF$的长为____1.

答案： 【解析】：延长CF交AB于点G。因为AE是角平分线，CF⊥AE，所以∠GAF=∠CAF，∠AFG=∠AFC=90°。在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，所以△AFG≌△AFC（ASA），则AG=AC=3，GF=CF。
因为AB=5，所以BG=AB - AG=5 - 3=2。
又因为AD是中线，所以BD=CD。在△BCG中，F是CG的中点，D是BC的中点，所以DF是△BCG的中位线，因此DF=1/2 BG=1/2×2=1。
【答案】：1