《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 下列调查中,调查方式选择正确的是(B)
A.为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况,选择抽样调查
B.为了了解某公园全年的游客流量,选择抽样调查
C.为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径,选择全面调查(普查)
D.为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂,选择全面调查(普查)

答案： 【解析】：
A. 飞船的设备零件质量情况对于飞船的安全至关重要，因此应该选择全面调查以确保每一个零件都符合标准，所以A选项中的抽样调查是不合适的。
B. 了解某公园全年的游客流量，由于游客数量庞大，进行全面调查会耗费大量的人力物力，因此抽样调查是一个更为实际且经济的方法。可以通过在公园的不同入口、不同时间段进行抽样，然后根据这些抽样数据推算出全年的游客流量。所以B选项是正确的。
C. 炮弹的杀伤半径测试具有破坏性，如果进行全面调查，即测试每一枚炮弹，那么所有的炮弹都将被消耗掉，这显然是不现实的。因此，应该选择抽样调查来估算整批炮弹的杀伤半径。所以C选项中的全面调查是不合适的。
D. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂，如果进行全面调查，即检查每一袋食品，将会非常耗时和费力。在实际操作中，通常会选择抽样调查，从批次中随机选取一部分食品进行检查，然后根据这些抽样结果来推断整批食品的情况。所以D选项中的全面调查是不合适的。
【答案】：B

5. 下列四边形中,不一定是矩形的是(C)
A.四个角都相等的四边形
B.有三个角是直角的四边形
C.一组对边平行且对角线相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形

答案： 【解析】：
A选项：四个角都相等的四边形，由于四边形的内角和为$360^\circ$，若每个角都相等，则每个角都是$90^\circ$，因此它是矩形。
B选项：有三个角是直角的四边形，由于四边形的内角和为$360^\circ$，若有三个直角，则第四个角也必然是直角，因此它也是矩形。
C选项：一组对边平行且对角线相等的四边形，这个条件并不能确保四边形是矩形。例如，等腰梯形也有一组对边平行且对角线相等，但它不是矩形。
D选项：对角线相等且互相平分的四边形，根据矩形的性质，对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形。
【答案】：C

1. 若直线$y = - 2 x - 4$与直线$y = 4 x + b$的交点在第三象限,则$b$的取值范围是$-4 ＜ b ＜ 8$.

答案： 【解析】：
首先，我们需要找到两条直线的交点。
设直线 $y = -2x - 4$ 和 $y = 4x + b$ 相交于点 $(x, y)$，则交点满足以下方程组：
$\begin{cases}y = - 2x - 4 \\y = 4x + b\end{cases}$
两式相加得：
$0 = -2x - 4 - (4x + b) \Rightarrow 0 = -6x - 4 - b \Rightarrow 6x = -4 - b \Rightarrow x = -\frac{4 + b}{6}$
将 $x = -\frac{4 + b}{6}$ 代入任一方程求 $y$，例如代入 $y = -2x - 4$，得：
$y = -2 \left( -\frac{4 + b}{6} \right) - 4 = \frac{2(4 + b)}{6} - 4 = \frac{4 + b}{3} - 4 = \frac{4 + b - 12}{3} = \frac{b - 8}{3}$
所以交点坐标为 $\left( -\frac{4 + b}{6}, \frac{b - 8}{3} \right)$。
由于交点在第三象限，那么 $x ＜ 0$ 且 $y ＜ 0$。
对于 $x ＜ 0$，有：
$-\frac{4 + b}{6} ＜ 0 \Rightarrow 4 + b ＞ 0 \Rightarrow b ＞ -4$
对于 $y ＜ 0$，有：
$\frac{b - 8}{3} ＜ 0 \Rightarrow b - 8 ＜ 0 \Rightarrow b ＜ 8$
综合两个不等式，得 $b$ 的取值范围为 $-4 ＜ b ＜ 8$。
【答案】：$-4 ＜ b ＜ 8$

2. 如图$6 - 1$所示,在正方形$ABCD$中,$AB = 1$,点$P是对角线AC$上的一点,分别以$AP$,$PC$为对角线作正方形,则这两个小正方形的周长之和是____4.

答案： 【解析】：
设小正方形的边长为$x$和$y$，则$AP=\sqrt{2}x$，$PC=\sqrt{2}y$，
然后利用勾股定理得出$x+y$的值，再求周长之和。
因为$ABCD$是正方形，$AB=1$，
所以$AC$是对角线，且$AC=\sqrt{2}$。
点$P$在$AC$上，因此$AP+PC=AC$，即：$\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=\sqrt{2}$，
化简得：$x+y=1$。
两个小正方形的周长之和为：$4x+4y=4(x+y)=4×1=4$。
【答案】：4

3. 在平面直角坐标系中,已知点$A \left( \frac { 3 } { 2 } , m \right)$,点$B \left( \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } , n \right)是直线y = k x + b(k ＜ 0)$上的两点,则$m$,$n$的大小关系是$m ＜ n$.

答案： 【解析】：
由于直线的斜率$k＜0$，根据直线斜率的性质，当斜率小于0时，$y$随$x$的增大而减小。
现在考虑点$A$和点$B$的$x$坐标，有$\frac{3}{2} ＞ \frac{\sqrt{7}}{2}$，
因为$A$点的$x$坐标大于$B$点的$x$坐标，并且直线斜率$k＜0$，
所以，当$x$值较大时，$y$值会较小。因此，可以推断出$A$点的$y$坐标（即$m$）会小于$B$点的$y$坐标（即$n$）。
【答案】：$m＜n$

4. 某校为了解学生喜欢的体育活动项目,随机抽查了$100$名学生,让每人选一项自己喜欢的项目,并制成如图$6 - 2$所示的扇形统计图. 如果该校有$1200$名学生,则喜欢跳绳的学生约有360名.

答案： 解：首先计算喜欢跳绳的学生所占比例：$1 - 45\% - 15\% - 10\% = 30\%$。
然后计算该校$1200$名学生中喜欢跳绳的学生人数：$1200×30\% = 1200×0.3 = 360$（名）。
故答案为$360$。

5. 在平面直角坐标系中,已知点$A(0,1)$,$B(1,2)$,点$P在x$轴上运动,当点$P到A$,$B$两点距离之差的绝对值最大时,点$P$的坐标是____$(-1,0)$.

答案： 【解析】：在平面直角坐标系中，已知点$A(0,1)$，$B(1,2)$，点$P$在$x$轴上运动。根据三角形两边之差小于第三边的性质，对于平面上任意三点$P$、$A$、$B$，有$||PA| - |PB|| \leq |AB|$，当且仅当$P$、$A$、$B$三点共线时，等号成立，此时$||PA| - |PB||$取得最大值$|AB|$。
所以，要求点$P$到$A$、$B$两点距离之差的绝对值最大时的坐标，即求直线$AB$与$x$轴的交点坐标。
首先，设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$。
将点$A(0,1)$代入解析式可得：$1 = k × 0 + b$，解得$b = 1$。
再将点$B(1,2)$和$b = 1$代入解析式可得：$2 = k × 1 + 1$，解得$k = 1$。
所以直线$AB$的解析式为$y = x + 1$。
因为点$P$在$x$轴上，所以其纵坐标为$0$。令$y = 0$，则$0 = x + 1$，解得$x = -1$。
因此，点$P$的坐标是$(-1,0)$。
【答案】：$(-1,0)$