《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

5. 如图9-6所示,在$□ ABCD$中,点$E在边AD$上,以$BE$为折痕,将$\triangle ABE$向上翻折,点$A正好落在CD上的点F$处,若$\triangle FDE$的周长为8,$\triangle FCB$的周长为22,则$□ ABCD$的周长为30,$FC$的长为7.

答案： 【解析】：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，设$DF = x$，$FC = y$，则$CD = AB = x + y$。
由折叠的性质可知，$AE = EF$，$AB = BF = x + y$。
$\triangle FDE$的周长为$8$，即$DE + EF + DF = 8$，因为$EF = AE$，所以$DE + AE + DF = AD + DF = 8$，即$AD + x = 8$，所以$AD = 8 - x$，则$BC = AD = 8 - x$。
$\triangle FCB$的周长为$22$，即$FC + BC + BF = 22$，将$FC = y$，$BC = 8 - x$，$BF = x + y$代入可得：$y + (8 - x) + (x + y) = 22$，化简得$2y + 8 = 22$，解得$y = 7$，即$FC = 7$。
平行四边形$ABCD$的周长为$2(AD + CD) = 2[(8 - x) + (x + y)] = 2(8 + y)$，将$y = 7$代入可得周长为$2×(8 + 7) = 30$。
【答案】：30，7

1. 如图9-7所示,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,点$D$,$E$,$F分别是边AB$,$BC$,$CA$的中点,若$DE+BF= 8$,则$BF$的值为(B)

A.3
B.4
C.5

D.6

答案： 【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^\circ$，点$D$、$E$、$F$分别是边$AB$、$BC$、$CA$的中点。
因此$DE$是$\triangle ABC$的中位线，$BF$是斜边$AC$的中线。
根据中位线的性质，$DE = \frac{1}{2}AC$。
根据斜边中线的性质，$BF = \frac{1}{2}AC$。
因此，$DE = BF$。
已知$DE + BF = 8$，
所以$2BF = 8$，
解得$BF = 4$。
【答案】：B

2. 已知正比例函数$y= (3k-1)x$,若$y随x$的增大而增大,则$k$的取值范围是(D)
A.$k＜0$
B.$k＞0$
C.$k＜\frac {1}{3}$
D.$k＞\frac {1}{3}$

答案： 【解析】：对于正比例函数$y = mx$（$m$为常数且$m \neq 0$），当$m ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。在函数$y=(3k - 1)x$中，比例系数为$3k - 1$。因为$y$随$x$的增大而增大，所以$3k - 1 ＞ 0$，解这个不等式可得$3k ＞ 1$，即$k ＞ \frac{1}{3}$。
【答案】：D

3. 如果线段$a$,$b$,$c$能构成一个直角三角形,则$a:b:c$可能是(D)
A.$1:2:3$
B.$1:3:5$
C.$3:4:6$
D.$5:12:13$

答案： 【解析】：
对于选项A：$1:2:3$
设$a = x$，$b = 2x$，$c = 3x$
检验是否满足勾股定理：
$a^{2} + b^{2} = x^{2} + (2x)^{2} = 5x^{2}$
但$c^{2} = (3x)^{2} = 9x^{2}$
因为$5x^{2} \neq 9x^{2}$，所以A不能构成直角三角形。
对于选项B：$1:3:5$
设$a = x$，$b = 3x$，$c = 5x$
检验是否满足勾股定理：
$a^{2} + b^{2} = x^{2} + (3x)^{2} = 10x^{2}$
但$c^{2} = (5x)^{2} = 25x^{2}$
因为$10x^{2} \neq 25x^{2}$，所以B不能构成直角三角形。
对于选项C：$3:4:6$
设$a = 3x$，$b = 4x$，$c = 6x$
检验是否满足勾股定理：
$a^{2} + b^{2} = (3x)^{2} + (4x)^{2} = 25x^{2}$
但$c^{2} = (6x)^{2} = 36x^{2}$
因为$25x^{2} \neq 36x^{2}$，所以C不能构成直角三角形。
对于选项D：$5:12:13$
设$a = 5x$，$b = 12x$，$c = 13x$
检验是否满足勾股定理：
$a^{2} + b^{2} = (5x)^{2} + (12x)^{2} = 169x^{2}$
且$c^{2} = (13x)^{2} = 169x^{2}$
因为两者相等，所以D能构成直角三角形。
【答案】：D

4. 如图9-8所示,在平面直角坐标系中,$A(1,1)$,$B(-1,1)$,$C(-1,-2)$,$D(1,-2)$. 把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点$A$处,并按$A→B→C→D→A……的规律紧绕在四边形ABCD$的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是((-1,-2))
A.$(1,-1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-1,-2)$
D.$(1,-2)$

答案： 【解析】：首先，计算四边形ABCD的周长。已知各点坐标：A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-2)，D(1,-2)。
AB的长度：A到B，横坐标从1到-1，纵坐标不变，长度为$1 - (-1) = 2$；
BC的长度：B到C，纵坐标从1到-2，横坐标不变，长度为$1 - (-2) = 3$；
CD的长度：C到D，横坐标从-1到1，纵坐标不变，长度为$1 - (-1) = 2$；
DA的长度：D到A，纵坐标从-2到1，横坐标不变，长度为$1 - (-2) = 3$。
周长为$AB + BC + CD + DA = 2 + 3 + 2 + 3 = 10$个单位长度，即绕四边形一周细线长度为10。
接下来，计算2025个单位长度绕的圈数和剩余长度。$2025 ÷ 10 = 202$（圈）……5（单位），即绕202圈后剩余5个单位长度。
按规律$A→B→C→D→A$紧绕，剩余5个单位长度的路径：
从A出发，AB长2，走完AB后剩余$5 - 2 = 3$；
接着走BC，BC长3，剩余3刚好走完BC。
此时细线另一端在点C处，点C的坐标为(-1,-2)。
【答案】：C