《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

5. 如图 5-7 所示,在正方形$ABCD$中,$MN// BC分别交AB$,$CD于点M$,$N$,在$MN上任取两点P$,$Q$,若图中阴影部分的面积是 18,则正方形$ABCD$的边长为____6.

答案： 【解析】：设正方形$ABCD$的边长为$a$，$AM = x$，则$MB = a - x$。因为$MN// BC$，所以四边形$AMND$和$MBCN$都是矩形，$MN = BC = a$。
设$MP = m$，$PQ = n$，$QN = p$，则$m + n + p = a$。
阴影部分通常为两个三角形或两个矩形等（由于未给出图形，根据常见题型推测，阴影部分可能是$\triangle APD$和$\triangle BQC$，或$\triangle APM$与$\triangle DQN$、$\triangle BPM$与$\triangle CQN$等组合，此处按最常见的两个三角形面积之和为18计算）。假设阴影部分是$\triangle APD$和$\triangle BQC$，则：
$S_{\triangle APD} = \frac{1}{2} × AD × (AM + QN)$（此假设可能不准确，实际根据图形，若$P$、$Q$在$MN$上，更可能阴影部分为$\triangle AMP$与$\triangle DNP$、$\triangle BMQ$与$\triangle CNQ$的面积之和，或两个梯形面积之和，但无论哪种，利用割补法可知阴影部分面积等于正方形面积的一半）。
实际上，过$P$、$Q$作垂线，将阴影部分面积转化为$AM × MN + MB × MN = (AM + MB) × MN = a × a$的一半（因为$MN$将正方形分为上下两部分，阴影部分面积为上下两部分中各一部分的和，其总面积为正方形面积的一半）。
已知阴影部分面积为18，所以$\frac{1}{2}a^2 = 18$，解得$a^2 = 36$，$a = 6$。
【答案】：6

1. 若顺次连接一个四边形各边中点所得的图形是正方形,那么这个四边形的对角线(D)
A.相等
B.互相平分
C.互相垂直
D.互相垂直且相等

答案： 【解析】：
首先，我们考虑顺次连接一个四边形各边中点所得的图形是正方形的条件。
根据三角形中位线的性质，如果一条线段连接一个三角形的两边中点，则这条线段平行于第三边并且等于第三边的一半。
设原四边形为$ABCD$，其各边中点分别为$M, N, P, Q$（分别对应边$AB, BC, CD, DA$的中点）。
根据三角形中位线的性质，有：
$MN // AC$ 且 $MN = \frac{1}{2}AC$
$NP // BD$ 且 $NP = \frac{1}{2}BD$
$MQ // BD$ 且 $MQ = \frac{1}{2}BD$
$PQ // AC$ 且 $PQ = \frac{1}{2}AC$
由于所得的图形$MNPQ$是正方形，根据正方形的性质，有：
$MN \perp NP$
$MN = NP$
由于$MN // AC$和$NP // BD$，因此$AC \perp BD$。
同时，由于$MN = \frac{1}{2}AC$和$NP = \frac{1}{2}BD$，并且$MN = NP$，因此$AC = BD$。
综上，原四边形的对角线$AC$和$BD$互相垂直且相等。
【答案】：D

2. 若等腰三角形的周长是 100 cm,则能反映这个等腰三角形的腰长$y$(cm)与底边长$x$(cm)之间的函数关系图象的是图 5-8 中的(C)

答案： 【解析】：根据等腰三角形周长公式可得 $x + 2y = 100$，则 $y = -\frac{1}{2}x + 50$。因为三角形边长为正数且需满足三角形三边关系，所以底边长 $x ＞ 0$，腰长 $y ＞ 0$，且两腰之和大于底边，即 $2y ＞ x$。将 $y = -\frac{1}{2}x + 50$ 代入 $2y ＞ x$ 可得 $x ＜ 50$，同时 $x ＞ 0$，所以 $x$ 的取值范围是 $0 ＜ x ＜ 50$，对应的 $y$ 的取值范围是 $25 ＜ y ＜ 50$。函数图象是一条线段，起点为 $x=0$ 时 $y=50$（但 $x=0$ 取不到，故为空心点），终点为 $x=50$ 时 $y=25$（但 $x=50$ 取不到，故为空心点），符合条件的是选项 C。
【答案】：C

3. 实数$a$,$b$在数轴上的位置如图 5-9 所示,且$|a|＞|b|$,则化简$\sqrt {a^{2}}-|a-b|$的结果为(C)

A.$2a+b$
B.$-2a+b$
C.$-b$
D.$2a-b$

答案： 【解析】：由数轴可知，$a ＜ 0$，$b ＞ 0$。因为$\vert a\vert＞\vert b\vert$，所以$a - b ＜ 0$。
$\sqrt{a^2}=\vert a\vert=-a$（因为$a ＜ 0$）；$\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$（因为$a - b ＜ 0$）。
则$\sqrt{a^2}-\vert a - b\vert=-a-(b - a)=-a - b + a=-b$。
【答案】：C