《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 在公路改建工程中,某路段长 4000 m,由甲、乙两个工程队拟在 30 天内(含 30 天)一起完成,已知两个工程队各有 10 名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与此工程,甲工程队每人每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同),甲工程队 1 天、乙工程队 2 天共修路 200 m；甲工程队 2 天、乙工程队 3 天共修路 350 m.
(1)甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)甲、乙两个工程队施工 10 天后,由于工作需要需从甲队抽调 m 人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,甲队可以抽调多少人？
(3)已知甲工程队每天的施工费用为 0.6 万元,乙工程队每天的施工费用为 0.35 万元,要使该工程的施工费用最低,甲、乙两队需各修多少天？最低费用为多少万元？

答案： 【解析】：
(1) 设甲工程队每天修路 $ x $ 米，乙工程队每天修路 $ y $ 米。根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 200 \\2x + 3y = 350\end{cases}$
解第一个方程得 $ x = 200 - 2y $，代入第二个方程：
$2(200 - 2y) + 3y = 350 \implies 400 - 4y + 3y = 350 \implies -y = -50 \implies y = 50$
则 $ x = 200 - 2×50 = 100 $。所以甲工程队每天修路 100 米，乙工程队每天修路 50 米。
(2) 甲、乙两队施工 10 天后，已修路 $ 10×(100 + 50) = 1500 $ 米，剩余 $ 4000 - 1500 = 2500 $ 米，剩余时间为 $ 30 - 10 = 20 $ 天。甲队原每人每天工作量为 $ 100÷10 = 10 $ 米，抽调 $ m $ 人后，甲队每天修路 $ 10×(10 - m) = 100 - 10m $ 米，乙队每天仍修 50 米。根据题意：
$20×[(100 - 10m) + 50] \geq 2500 \implies (150 - 10m) \geq 125 \implies -10m \geq -25 \implies m \leq 2.5$
因为 $ m $ 为正整数，所以 $ m = 0, 1, 2 $。即甲队可以抽调 0 人、1 人或 2 人。
(3) 设甲队修 $ a $ 天，乙队修 $ b $ 天，费用为 $ W = 0.6a + 0.35b $，且 $ 100a + 50b \geq 4000 \implies 2a + b \geq 80 $，$ a \leq 30 $，$ b \leq 30 $。要使费用最低，需尽量多用费用低的乙队，但乙队 30 天最多修 $ 50×30 = 1500 $ 米，剩余 $ 4000 - 1500 = 2500 $ 米，甲队需修 $ 2500÷100 = 25 $ 天。此时 $ a = 25 $，$ b = 30 $，费用 $ W = 0.6×25 + 0.35×30 = 15 + 10.5 = 25.5 $ 万元。若乙队修不满 30 天，甲队天数增加，费用会更高，故最低费用为 25.5 万元，甲队修 25 天，乙队修 30 天。
【答案】：
(1) 甲 100 米/天，乙 50 米/天；
(2) 0 人、1 人或 2 人；
(3) 甲 25 天，乙 30 天，最低费用 25.5 万元。

如图 12 - 13 所示,在四边形 ABCD 中,$AD// BC$,$AB = AD = DC$,点 E 为底边 BC 的中点,且$DE// AB$. 试判断$\triangle DEC$的形状,并给出证明.

$\triangle DEC$的形状为等边三角形.
证明：因为 $AD // BC$ 且 $DE // AB$，所以四边形 $ABED$ 是平行四边形。根据平行四边形的性质，对边相等，可得 $AB = DE$ 且 $AD = BE$。
已知 $AB = AD = DC$，所以 $DE = DC$，$AD = BE = DC$。
又因为点 $E$ 是底边 $BC$ 的中点，所以 $BE = EC$。
由于 $BE = DC$ 且 $BE = EC$，故 $DC = EC$。
综上，$DE = DC$ 且 $DC = EC$，所以 $DE = DC = EC$，因此 $\triangle DEC$ 是等边三角形。

答案： 【解析】：因为 $AD // BC$ 且 $DE // AB$，所以四边形 $ABED$ 是平行四边形。根据平行四边形的性质，对边相等，可得 $AB = DE$ 且 $AD = BE$。
已知 $AB = AD = DC$，所以 $DE = DC$，$AD = BE = DC$。
又因为点 $E$ 是底边 $BC$ 的中点，所以 $BE = EC$。
由于 $BE = DC$ 且 $BE = EC$，故 $DC = EC$。
综上，$DE = DC$ 且 $DC = EC$，所以 $DE = DC = EC$，因此 $\triangle DEC$ 是等边三角形。
【答案】：等边三角形