《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 如图$7 - 7$所示,在矩形$ABCD$中,点$E是边CD$的中点,将$\triangle ADE沿AE折叠后得到\triangle AFE$,且点$F在矩形ABCD$的内部.将$AF延长交边BC于点G$.若$\frac{CG}{GB} = \frac{1}{k}$,则$\frac{AD}{AB} = $$\frac{\sqrt{k+1}}{2}$.(用含$k$的代数式表示)

答案： 【解析】：设 $ CG = m $，因为 $ \frac{CG}{GB} = \frac{1}{k} $，所以 $ GB = km $，则 $ BC = CG + GB = m + km = m(k + 1) $。
设 $ AD = BC = x $，$ AB = CD = y $，点 $ E $ 是 $ CD $ 的中点，所以 $ DE = EC = \frac{y}{2} $。
由折叠性质可知，$ \triangle ADE \cong \triangle AFE $，所以 $ AD = AF = x $，$ DE = FE = \frac{y}{2} $，$ \angle AFE = \angle D = 90^\circ $，则 $ \angle EFG = 90^\circ $。
在 $ \triangle EFG $ 和 $ \triangle ECG $ 中，$ EF = EC = \frac{y}{2} $，$ EG = EG $，所以 $ \triangle EFG \cong \triangle ECG $（HL），因此 $ FG = CG = m $，则 $ AG = AF + FG = x + m $。
在 $ \text{Rt}\triangle ABG $ 中，$ AB = y $，$ BG = km $，$ AG = x + m $，根据勾股定理可得：$ y^2 + (km)^2 = (x + m)^2 $ ①。
因为 $ AD = x = BC = m(k + 1) $，所以 $ m = \frac{x}{k + 1} $ ②。
将②代入①得：$ y^2 + \left(k \cdot \frac{x}{k + 1}\right)^2 = \left(x + \frac{x}{k + 1}\right)^2 $，化简可得：
$ y^2 + \frac{k^2x^2}{(k + 1)^2} = \left(\frac{x(k + 1) + x}{k + 1}\right)^2 = \left(\frac{x(k + 2)}{k + 1}\right)^2 = \frac{x^2(k + 2)^2}{(k + 1)^2} $
移项得：$ y^2 = \frac{x^2(k + 2)^2}{(k + 1)^2} - \frac{k^2x^2}{(k + 1)^2} = \frac{x^2[(k + 2)^2 - k^2]}{(k + 1)^2} = \frac{x^2(4k + 4)}{(k + 1)^2} = \frac{4x^2(k + 1)}{(k + 1)^2} = \frac{4x^2}{k + 1} $
则 $ \frac{x^2}{y^2} = \frac{k + 1}{4} $，所以 $ \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{k + 1}}{2} $，即 $ \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{k + 1}}{2} $。
【答案】：$\frac{\sqrt{k+1}}{2}$

5. 在$\triangle ABC$中,若$AB = 13$,$AC = 15$,高$AD = 12$,则$BC$的长是14或4.

答案： 【解析】：
在$\triangle ABC$中，已知$AB = 13$，$AC = 15$，高$AD \perp BC$，且$AD = 12$。
首先，我们考虑两种情况：
① 当$\triangle ABC$是锐角三角形时，高$AD$在$\triangle ABC$的内部。
在直角三角形$\triangle ABD$中，利用勾股定理，我们有：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$
所以，$BD = \sqrt{25} = 5$。
在直角三角形$\triangle ACD$中，利用勾股定理，我们有：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 81$
所以，$CD = \sqrt{81} = 9$。
因此，在这种情况下，$BC = BD + CD = 5 + 9 = 14$。
② 当$\triangle ABC$是钝角三角形时，高$AD$在$\triangle ABC$的外部。
同样利用勾股定理，我们可以得到$BD = 5$和$CD = 9$，但此时$BC = CD - BD = 9 - 5 = 4$。
综合以上两种情况，我们得到$BC$的可能长度为$14$或$4$。
【答案】：$14$或$4$。

1. 如图$7 - 8$所示,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$AB = 4$,点$M是斜边BC$的中点,以$AM为边作正方形AMEF$,若$S_{\mathrm{正方形}AMEF} = 16$,则$\mathrm{Rt}\triangle ABC$的面积为(B)

A.$4\sqrt{3}$
B.$8\sqrt{3}$
C.$12$
D.$16$

答案： 【解析】：
由于 $ S_{\text{正方形}AMEF} = 16 $，所以 $ AM = \sqrt{16} = 4 $。
在直角三角形 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 4 $，$ M $ 是斜边 $ BC $ 的中点，$ AM $ 是中线。
根据中线性质，$ AM = \frac{1}{2}BC $。
因此，$ BC = 2 × AM = 2 × 4 = 8 $。
利用勾股定理计算 $ AC $：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。
直角三角形 $ \triangle ABC $ 的面积：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 4 × 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
【答案】：B

2. 如图$7 - 9$所示,在$□ ABCD$中,$AE$,$CF分别是\angle BAD和\angle BCD$的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形$AECF$为菱形的是(C)

A.$AE = AF$
B.$EF \perp AC$
C.$\angle B = 60^{\circ}$
D.$AC是\angle EAF$的平分线

答案： 【解析】：
首先，由于$ABCD$是平行四边形，所以$\angle BAD = \angle BCD$，$AB // CD$，$AD // BC$。
由于$AE$和$CF$分别是$\angle BAD$和$\angle BCD$的平分线，所以$\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAD$，$\angle DCF = \frac{1}{2} \angle BCD$。
从而$\angle BAE = \angle DCF$。
由于$AB // CD$，所以$\angle BAC = \angle DCA$（内错角相等）。
进一步，由于$\angle BAE = \angle DCF$，我们可以得到$\angle EAC = \angle FCA$。
从而$AE // CF$（内错角相等，两直线平行）。
又因为$AD // BC$，所以四边形$AECF$是平行四边形。
接下来，我们逐一分析选项：
A. 若$AE = AF$，则平行四边形$AECF$的邻边相等，所以它是菱形。
B. 若$EF \perp AC$，则平行四边形$AECF$的对角线互相垂直，所以它是菱形。
C. 若$\angle B = 60^{\circ}$，这个条件并不能直接帮助我们判断四边形$AECF$是否为菱形。因为即使$\angle B = 60^{\circ}$，我们也不能直接得出$AE = AF$或$EF \perp AC$等结论。
D. 若$AC$是$\angle EAF$的平分线，则$\angle EAC = \angle FAC$。由于我们已经知道$\angle EAC = \angle FCA$，所以$\angle FAC = \angle FCA$，从而$AF = CF$。邻边相等的平行四边形是菱形。
综上所述，只有选项C无法直接判断四边形$AECF$为菱形。
【答案】：C

3. 如图$7 - 10$所示,$\angle AOC = \angle BOC$,点$P在OC$上,$PD \perp OA于点D$,$PE \perp OB于点E$.若$OD = 8$,$OP = 10$,则$PE$的长为(B)

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案： 【解析】：
因为$PD \perp OA$，且$OD = 8$，$OP = 10$，所以在直角三角形$OPD$中，可以用勾股定理求出$PD$的长度。
根据勾股定理有：
$PD = \sqrt{OP^2 - OD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
因为$\angle AOC = \angle BOC$，并且$PD \perp OA$，$PE \perp OB$，根据角平分线的性质，点$P$到$\angle AOB$的两边的距离是相等的，即$PD = PE$。
所以，$PE = PD = 6$。
【答案】：B

4. 如图$7 - 11$所示,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与$x轴或y$轴平行.从内到外,它们的边长依次为$2$,$4$,$6$,$8$,…,顶点依次用$A_1$,$A_2$,$A_3$,$A_4$,…表示,则顶点$A_{55}$的坐标是(C)

A.$(13,13)$
B.$(-13,-13)$
C.$(14,14)$

D.$(-14,-14)$

答案： 【解析】：观察图形可知，每个正方形有4个顶点，从内到外正方形的序号依次为1，2，3，…，第n个正方形的边长为2n，其顶点到原点的距离（即横、纵坐标的绝对值）为n。
顶点的排列顺序为：第1个正方形（边长2）顶点：$A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$；第2个正方形（边长4）顶点：$A_5$，$A_6$，$A_7$，$A_8$；第3个正方形（边长6）顶点：$A_9$，$A_{10}$，$A_{11}$，$A_{12}$；……，即每4个顶点为一组对应一个正方形。
计算$55÷4 = 13\cdots\cdots3$，其中商13表示前13个正方形共有$13×4 = 52$个顶点，余数3表示$A_{55}$是第14个正方形的第3个顶点。
由图可知，每个正方形顶点的顺序及坐标规律（以第n个正方形为例）：
第1个顶点（余数1）：$(-n, -n)$
第2个顶点（余数2）：$(-n, n)$
第3个顶点（余数3）：$(n, n)$
第4个顶点（余数0）：$(n, -n)$
第14个正方形的n=14，所以第3个顶点坐标为$(14,14)$。
【答案】：C