《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

1. 已知$a = 2 + \sqrt { 3 }$,$b = 2 - \sqrt { 3 }$,试求$\frac { a } { b } - \frac { b } { a }$的值.$8\sqrt{3}$

答案： 【解析】：首先，我们需要计算$\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$的值。已知$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$。
先对$\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$进行通分，可得：
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，所以分子可以转化为$(a + b)(a - b)$，因此式子变为：
$\frac{(a + b)(a - b)}{ab}$
接下来分别计算$a + b$、$a - b$和$ab$的值。
计算$a + b$：
$a + b = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$
计算$a - b$：
$a - b = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
计算$ab$，这是一个平方差的形式$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$：
$ab = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
将上述结果代入式子$\frac{(a + b)(a - b)}{ab}$中：
$\frac{4 × 2\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$
【答案】：$8\sqrt{3}$

2. 一根祝寿蜡烛长$85 \mathrm { cm }$,点燃时每小时缩短$5 \mathrm { cm }$.
(1)请写出点燃后蜡烛的长$y ( \mathrm { cm } )与蜡烛燃烧时间t ( \mathrm { h } )$之间的函数关系式；
(2)请你预测该蜡烛可燃烧多长时间.

答案： 【解析】：
(1) 蜡烛的初始长度为85 cm，每小时缩短5 cm。因此，蜡烛的长度$y$与燃烧时间$t$之间的函数关系式可以表示为：
$y = 85 - 5t$
其中，$t$表示燃烧时间（小时），$y$表示蜡烛的长度（cm）。
(2) 要预测蜡烛可燃烧多长时间，我们需要找到蜡烛长度缩短到0时的时间。即解方程：
$85 - 5t = 0$
解这个方程，我们得到：
$t = \frac{85}{5} = 17$
所以，该蜡烛可燃烧17小时。
【答案】：
(1) $y = 85 - 5t$
(2) 17小时

3. 如图$6 - 7$所示,已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 5$,$BC = 6$,$AD是BC$边上的中线,四边形$ADBE$是平行四边形.
(1)求证：四边形$ADBE$是矩形；
证明：在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$AD$是$BC$边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD \perp BC$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。因为四边形$ADBE$是平行四边形，且有一个角为直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ADBE$是矩形。
(2)求矩形$ADBE$的面积.12

答案： 【解析】：
(1)证明：
∵$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$AD \perp BC$，即$\angle ADB = 90^\circ$。
∵四边形$ADBE$是平行四边形，
又
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴四边形$ADBE$是矩形。
(2)
∵$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD = \frac{1}{2}BC = 3$，$AD$是$BC$边上的高。
∵在$Rt \triangle ABD$中，$AB = 5$，$BD = 3$，
∴$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
∵四边形$ADBE$是矩形，
∴$S_{\text{矩形}ADBE} = AD × BD = 4 × 3 = 12$。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)12