《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

2. 如图$7 - 14$所示,$E是正方形ABCD的边BC$上任意一点,$FG \perp AE交AB$,$CD于点F$,$G$,求证：$AE = FG$.

答案： 【解析】：
过点$B$作$BH// FG$交$CD$于点$H$，
则$\angle BHC = \angle FGB$（两直线平行，同位角相等）。
因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$AB = BC$，$\angle ABC=\angle BCD = 90^{\circ}$，$AB// CD$。
又因为$FG\perp AE$，$BH// FG$，
所以$BH\perp AE$，
则$\angle BAE+\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle CBE+\angle AEB = 90^{\circ}$，
所以$\angle BAE=\angle CBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle BCH$中，
$\begin{cases}\angle BAE=\angle CBE,\\AB = BC,\\\angle ABC=\angle BCD.\end{cases}$
根据“角边角”定理可得$\triangle ABE\cong\triangle BCH$，
所以$BH = AE$。
又因为$BH// FG$，$AB// CD$，
所以四边形$FBHG$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，
所以$FG = BH$。
因为$BH = AE$，
所以$AE = FG$。
【答案】：$AE = FG$

3. 某校为了使学生都能参加到“大课间”活动中来,计划购买篮球、排球共$60$个,跳绳$120$根.已知一个篮球$70$元,一个排球$50$元,一根跳绳$10$元.设购买篮球$x$个,购买篮球、排球和跳绳的总费用为$y$元.
(1)求$y与x$之间的函数关系式；
(2)若购买上述体育用品的总费用为$4700$元,则篮球、排球各买了多少个？

答案： 【解析】：
(1) 设购买篮球$x$个，则购买排球的数量为$60 - x$个。篮球的费用为$70x$元，排球的费用为$50(60 - x)$元，跳绳的费用为$120 × 10 = 1200$元。因此，总费用$y$与$x$之间的函数关系式为：
$ y = 70x + 50(60 - x) + 1200 $
$ y = 70x + 3000 - 50x + 1200 $
$ y = 20x + 4200 $
(2) 当总费用$y = 4700$元时，代入函数关系式求解$x$：
$ 4700 = 20x + 4200 $
$ 20x = 4700 - 4200 $
$ 20x = 500 $
$ x = 25 $
因此，篮球买了25个，排球买了$60 - 25 = 35$个。
【答案】：
(1) $ y = 20x + 4200 $
(2) 篮球买了25个，排球买了35个

(1)求证：AE = BF；
(2)连接BD,若点E恰好是AD的中点,AB = 2,求BD的值.2

答案： 【解析】：
（1）证明：
四边形$ABCD$是菱形，
$AB=BC$，$AD// BC$，
$\angle A=\angle CBF$，
$BE\perp AD$,$CF\perp AB$，
$\angle AEB=\angle BFC=90^\circ$，
$\triangle AEB\cong\triangle BFC$，
$AE=BF$。
（2）$E$是$AD$的中点，且$BE\perp AD$，
直线$BE$为$AD$的垂直平分线，
$AB=BD=2$。
【答案】：
(1)证明见解析过程；
(2)$2$。