《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 图$1-3$是某件商品四天内的进价与售价的折线统计图. 那么售出这种商品每件利润最大的是(B)
A.第一天
B.第二天
C.第三天
D.第四天

答案： 【解析】：由折线统计图可知，实线表示售价，虚线表示进价。利润=售价-进价。
第一天：售价50元，进价40元，利润=50-40=10元；
第二天：售价45元（根据折线趋势，第一天到第三天售价从50降到30，中间第二天约为45），进价25元，利润=45-25=20元；
第三天：售价35元（50到30之间第三天约为35），进价30元，利润=35-30=5元；
第四天：售价30元，进价20元，利润=30-20=10元。
比较可得第二天利润最大。
【答案】：B

4. 一直角三角形的两边长分别为$3和4$,则第三边的长为(D)
A.$5$
B.$\sqrt {7}$
C.$\sqrt {5}$
D.$5或\sqrt {7}$

答案： 【解析】：已知直角三角形的两边长分别为3和4，需要分两种情况讨论：
1. 当3和4均为直角边时，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$；
2. 当4为斜边，3为直角边时，第三边（另一条直角边）的长为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
综上，第三边的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】：D

5. 坐标平面上有一点$A$,且点$A到x轴的距离为3$,到$y轴的距离恰为到x轴距离的3$倍. 若点$A$在第二象限,则点$A$的坐标是((-9, 3))
A.$(-9,3)$
B.$(-3,1)$
C.$(-3,9)$
D.$(-1,3)$

答案： 【解析】：
点$A$到$x$轴的距离为$3$，即点$A$的纵坐标的绝对值是$3$。
点$A$到$y$轴的距离恰为到$x$轴距离的$3$倍，即点$A$的横坐标的绝对值是$3 × 3 = 9$。
点$A$在第二象限，根据坐标系的定义，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正。
综合以上三点，点$A$的坐标是$(-9, 3)$。
【答案】：A

1. 已知点$P(a,b)在一次函数y= 4x+3$的图象上,则代数式$4a-b-2$的值为______-5.

答案： 【解析】：
由于点$P(a,b)$在一次函数$y = 4x + 3$的图象上，根据一次函数的定义，我们有：
$b = 4a + 3$
接下来，我们需要求代数式$4a - b - 2$的值。
将$b = 4a + 3$代入$4a - b - 2$，得到：
$4a - b - 2 = 4a - (4a + 3) - 2$
$= 4a - 4a - 3 - 2$
$= -5$
【答案】：-5

2. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ }$,若$BC= s^{2}-t^{2}$,$AB= s^{2}+t^{2}(s＞t＞0)$,则$AC= $$2st$.

答案： 【解析】：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理可得 $AC^2 + BC^2 = AB^2$。已知 $BC = s^2 - t^2$，$AB = s^2 + t^2$，则：
$\begin{aligned}AC^2 &= AB^2 - BC^2 \\&= (s^2 + t^2)^2 - (s^2 - t^2)^2 \\&= [ (s^2 + t^2) + (s^2 - t^2) ][ (s^2 + t^2) - (s^2 - t^2) ] \\&= (2s^2)(2t^2) \\&= 4s^2t^2\end{aligned}$
因为 $s ＞ t ＞ 0$，所以 $AC = \sqrt{4s^2t^2} = 2st$。
【答案】：$2st$

3. 在矩形$ABCD$中,$E为AD$上一点,且$BE平分\angle ABC$,$BE= BC$,则$\angle CED= $67.5°.

答案： 【解析】：在矩形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AD// BC$，$AB = CD$，$AD = BC$。因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle EBC = 45^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle ABE = 45^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等腰直角三角形，$AE = AB$，设$AB = AE = x$，则$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2}x$。
因为$BE = BC$，所以$BC=\sqrt{2}x$，又因为$AD = BC=\sqrt{2}x$，所以$DE=AD - AE=\sqrt{2}x - x=(\sqrt{2}-1)x$，$CD = AB = x$。
在$\triangle CDE$中，$CD = x$，$DE=(\sqrt{2}-1)x$，过点$E$作$EF\perp BC$于点$F$，则四边形$ABFE$是正方形，$EF = AB = x$，$FC=BC - BF=\sqrt{2}x - x=(\sqrt{2}-1)x$，所以$DE = FC$，$CD = EF$，$\angle D=\angle F = 90^{\circ}$，可证$\triangle CDE\cong\triangle EFC(SAS)$，所以$CE = EC$（公共边），$\angle DCE=\angle FEC$。
设$\angle CED=\alpha$，在$\triangle CDE$中，$\angle DCE=180^{\circ}-\angle D-\alpha=90^{\circ}-\alpha$。因为$AD// BC$，所以$\angle DEC=\angle ECB=\alpha$（内错角相等），又因为$\angle EBC = 45^{\circ}$，在$\triangle BEC$中，$BE = BC$，所以$\triangle BEC$是等腰三角形，$\angle BEC=\angle ECB=\alpha$，则$\angle EBC+\angle BEC+\angle ECB=180^{\circ}$，即$45^{\circ}+\alpha+\alpha=180^{\circ}$，$2\alpha=135^{\circ}$，$\alpha = 67.5^{\circ}$，即$\angle CED = 67.5^{\circ}$。
【答案】：67.5°

4. 如果$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足关系式|a-13|+|b-12|+(c^{2}-10c+25)= 0$,则$\triangle ABC$是一个______三角形.直角

答案： 【解析】：
首先，我们分析给定的关系式：
$|a-13|+|b-12|+(c^{2}-10c+25)= 0$
由于绝对值和平方都是非负的，所以要使上述等式成立，每一项都必须为0。
对于 $|a-13| = 0$ ，我们得到 $a = 13$ 。
对于 $|b-12| = 0$ ，我们得到 $b = 12$ 。
对于 $c^{2}-10c+25 = (c-5)^{2} = 0$ ，我们得到 $c = 5$ 。
接下来，我们利用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状。
勾股定理的逆定理告诉我们，如果在一个三角形中，三边满足 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ，则这个三角形是一个直角三角形。
将 $a = 13$, $b = 12$, $c = 5$ 代入，我们得到：
$13^{2} = 12^{2} + 5^{2}$
$169 = 144 + 25$
上述等式成立，所以 $\triangle ABC$ 是一个直角三角形。
【答案】：直角

5. 如图$1-4$所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ }$,$BD为AC$的中线,过点$C作CE\perp BD于点E$,过点$A作BD$的平行线,交$CE的延长线于点F$,在$AF的延长线上截取FG= BD$,连接$BG$,$DF$. 若$AF= 8$,$CF= 6$,则四边形$BDFG$的周长为______20.

答案： 【解析】：
∵AF//BD，FG=BD，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∴BG=DF，BD=FG，BG//DF。
∵CE⊥BD，AF//BD，
∴CF⊥AF，即∠AFC=90°。
在Rt△AFC中，AF=8，CF=6，
由勾股定理得：AC=√(AF²+CF²)=√(8²+6²)=10。
∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，
∴BD=1/2AC=5（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴FG=BD=5。
∵D为AC中点，
∴AD=1/2AC=5。
∵AF//BD，
∴∠EAD=∠EDC（内错角相等）。
又
∵∠AFC=∠DEC=90°，∠ADF=∠CDE（对顶角相等），AD=CD=5，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴DF=DE，AF=CE=8？？？此处修正：
实际应为：
∵AF//BD，点D是AC中点，
∴延长FD交BC于H，可证DF为△ABC中位线，但更简便的是：
在Rt△AFC中，D是AC中点，
∴DF=1/2AC=5（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴DF=5，即BG=5。
综上，四边形BDFG的周长为2×(BD+DF)=2×(5+5)=20。
【答案】：20

1. 设直角三角形的两条直角边分别为$a$,$b$,斜边为$c$,斜边上的高为$h$,则以$h$,$c+h$,$a+b$为边构成的三角形是(A)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定三角形的形状

答案： 【解析】：在直角三角形中，根据勾股定理有$a^2 + b^2 = c^2$，三角形面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，可得$ab = ch$。
计算$(a + b)^2 + h^2$：$\begin{aligned}(a + b)^2 + h^2&=a^2 + 2ab + b^2 + h^2\\&=(a^2 + b^2) + 2ab + h^2\\&=c^2 + 2ch + h^2\\&=(c + h)^2\end{aligned}$
由勾股定理逆定理可知，以$h$，$c + h$，$a + b$为边构成的三角形是直角三角形。
【答案】：A