《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 以面积为$9cm^{2}$的正方形的对角线为边作正方形,其面积为(C)
A.$9cm^{2}$
B.$12cm^{2}$
C.$18cm^{2}$
D.$24cm^{2}$

答案： 【解析】：
设原正方形的边长为$a$，已知原正方形的面积为$9cm^2$，根据正方形面积公式$S = a^2$，可得$a^2 = 9$，解得$a = 3cm$（边长不能为负舍去$-3cm$）。
根据勾股定理，原正方形的对角线长$d=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}cm$。
新正方形的边长就是原正方形的对角线长$3\sqrt{2}cm$，那么新正方形的面积$S=(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}×(\sqrt{2})^{2}=9×2 = 18cm^{2}$。
【答案】：C

4. 将点$A(2,1)$向左平移 2 个单位长度得到点$A'$,则点$A'$的坐标是(D)
A.$(2,3)$
B.$(2,-1)$
C.$(4,1)$
D.$(0,1)$

答案： 【解析】：在平面直角坐标系中，点左右平移时，横坐标发生变化，纵坐标不变。向左平移几个单位长度，横坐标就减去几。点$A(2,1)$向左平移$2$个单位长度，横坐标变为$2 - 2 = 0$，纵坐标仍为$1$，所以点$A'$的坐标是$(0,1)$。
【答案】：D

5. 如图 11 - 2 所示,若将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变,纵坐标分别减 3,则点$ A $的对应点的坐标是(D)

A.$(-4,3)$
B.$(4,3)$
C.$(-2,6)$
D.$(-2,3)$

答案： 【解析】：
点 $A$ 的初始坐标为 $(-2, 6)$。题目要求横坐标保持不变，纵坐标减少3。
所以，点 $A$ 的新坐标为：
横坐标：$-2$（保持不变），
纵坐标：$6 - 3 = 3$。
因此，点 $A$ 的对应点的坐标是 $(-2, 3)$。
【答案】：D

1. 若将 4 根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形,并使面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是30度.

答案： 【解析】：
设矩形的长为$a$，宽为$b$，则矩形的面积为$S_{\text{矩形}} = a × b$。
当矩形变形为平行四边形时，其面积变为矩形面积的一半，即$S_{\text{平行四边形}} = \frac{1}{2} × a × b$。
平行四边形面积也可以用底和高表示，设平行四边形的一组邻边为$a$和$b$（与矩形相同的两边），并设其中$a$为底，高为$h$，则有$S_{\text{平行四边形}} = a × h$。
由于$S_{\text{平行四边形}} = \frac{1}{2} × a × b$，可以得到$h = \frac{1}{2}b$。
在直角三角形中，已知对边和斜边，可以求得$\sin \theta = \frac{h}{b} = \frac{1}{2}$，其中$\theta$为平行四边形的一个内角。
根据三角函数的性质，当$\sin \theta = \frac{1}{2}$时，$\theta = 30^\circ$。
由于平行四边形的相邻两角互补，所以另一个相邻的内角为$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$。
题目要求最小内角，因此这个平行四边形的一个最小内角是$30^\circ$。
【答案】：30

2. 已知$ DE 是△ABC$的中位线,且$DE// BC$,$△ADE的面积为3cm^{2}$,则四边形$ DBCE $的面积为____9$cm^{2}$.

答案： 【解析】：
由于$DE$是$\bigtriangleup ABC$的中位线，并且$DE // BC$，根据中位线的性质，我们有$AD = \frac{1}{2}AB$和$AE = \frac{1}{2}AC$。
第一步，我们考虑两个三角形$\bigtriangleup ADE$和$\bigtriangleup ABC$的相似比。
由于$DE // BC$，且$D$和$E$分别是$AB$和$AC$的中点，因此$\bigtriangleup ADE \sim \bigtriangleup ABC$，且相似比为$1:2$。
第二步，根据相似三角形的面积比，面积比为相似比的平方，即$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
所以，$\frac{S_{\bigtriangleup ADE}}{S_{\bigtriangleup ABC}} = \frac{1}{4}$。
第三步，根据题目，$S_{\bigtriangleup ADE} = 3 \, \text{cm}^2$。
因此，$S_{\bigtriangleup ABC} = 4 × 3 \, \text{cm}^2 = 12 \, \text{cm}^2$。
第四步，四边形$DBCE$的面积是$S_{\bigtriangleup ABC} - S_{\bigtriangleup ADE}$。
所以，$S_{DBCE} = 12 \, \text{cm}^2 - 3 \, \text{cm}^2 = 9 \, \text{cm}^2$。
【答案】：9

3. 如图 11 - 3 所示,在正方形$ ABCD $中,延长$ AB 至点 E$. 若使$BE= DB$,连接$ DE 交 BC 于点 F$,则$∠DFB$的度数为____67.5°.

答案： 【解析】：在正方形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = AD$，$AD// BC$，对角线$DB$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=45^{\circ}$。
因为$BE = DB$，所以$\triangle DBE$是等腰三角形，$\angle BDE=\angle BED$。
又因为$\angle ABD$是$\triangle DBE$的外角，所以$\angle ABD=\angle BDE + \angle BED$，即$45^{\circ}=2\angle BDE$，解得$\angle BDE = 22.5^{\circ}$。
在$\triangle DFB$中，$\angle FBD = 90^{\circ}$（因为$BC$是正方形的边，$AB$延长到$E$，所以$\angle FBE = 90^{\circ}$，即$\angle FBD = 90^{\circ}$），根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle DFB=180^{\circ}-\angle FBD-\angle BDE=180^{\circ}-90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$。
【答案】：67.5°