《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 如图$10 - 6$所示,在正方形$ABCD$中,$E是AB$上一点,$B E = 2$,$A E = 3 B E$,$P是AC$上一动点,则$P B + P E$的最小值是10.

答案： 【解析】：
连接$DE$，交$AC$于$P$，连接$BP$，
由于四边形$ABCD$是正方形，
根据正方形的性质：正方形的对角线是其对称轴，可得$B$、$D$关于$AC$对称，
所以$PB=PD$，
所以$PB+PE=PD+PE=DE$，
根据两点之间线段最短，可得此时$PB+PE$最小。
因为$BE=2$，$AE=3BE$，
所以$AE=6$，
在$Rt\triangle ADE$中，
根据勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
所以$PB+PE$的最小值是$10$。
【答案】：10

5. 如图$10 - 7$所示,一次函数$y = x + 3的图象经过点P ( a , b )$,$Q ( c , d )$,则$a ( c - d ) - b ( c - d )$的值为____9.

答案： 【解析】：
已知一次函数 $ y = x + 3 $ 的图像经过点 $ P(a, b) $ 和 $ Q(c, d) $，
则有 $ b = a + 3 $ 和 $ d = c + 3 $。
题目要求计算 $ a(c - d) - b(c - d) $ 的值。
首先，将 $ b $ 和 $ d $ 的表达式代入：
$ a(c - d) - b(c - d) = a(c - d) - (a + 3)(c - d) $，
展开并简化：
$ a(c - d) - (a + 3)(c - d) = a(c - d) - a(c - d) - 3(c - d) $
$= -3(c - d) $
注意到 $ c - d $ 实际上是一个常数，因为 $ d = c + 3 $，所以 $ c - d = -3 $。
代入得：
$ -3(c - d) = -3 × (-3) = 9 $
【答案】：9

1. 如图$10 - 8$所示,$\triangle A B C$是等边三角形,$P是\angle A B C的平分线BD$上一点,$P E \perp A B于点E$,线段$BP的垂直平分线交BC于点F$,垂足为点$Q$.若$B F = 2$,则$PE$的长为(C)

A.$2$
B.$2 \sqrt { 3 }$
C.$\sqrt { 3 }$
D.$3$

答案： 【解析】：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°。BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠DBC=30°。
线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q，根据垂直平分线的性质，BF=PF=2，且∠BQF=90°。
在Rt△BQF中，∠FBQ=30°，BF=2，所以QF=BF×sin30°=2×1/2=1，BQ=BF×cos30°=2×(√3/2)=√3。
因为Q是BP的中点，所以BP=2BQ=2√3。
在Rt△BEP中，∠EBP=30°，BP=2√3，所以PE=BP×sin30°=2√3×1/2=√3。
【答案】：C

2. 菱形对角线的平方和等于一边平方的(4倍)
A.$2$倍
B.$3$倍
C.$4$倍
D.$8$倍

答案： 【解析】：
设菱形的边长为$a$，两条对角线长分别为$d_1$和$d_2$。
由于菱形的对角线互相垂直且平分，我们可以将菱形划分为四个直角三角形。
考虑其中一个直角三角形，其直角边分别为$\frac{d_1}{2}$和$\frac{d_2}{2}$，斜边为$a$。
根据勾股定理，我们有：
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$
将上式两边同时乘以4，得到：
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$
由此可见，菱形对角线的平方和等于一边平方的4倍。
【答案】：C

3. 以正方形$ABCD的边AB为一边向内作等边三角形ABE$,连接$DE$,$CE$,则$\angle D E C$等于(B)
A.$165 ^ { \circ }$
B.$150 ^ { \circ }$
C.$120 ^ { \circ }$
D.$105 ^ { \circ }$

答案： 【解析】：设正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$。因为 $ABE$ 是等边三角形，所以 $AB = AE = BE = a$，$\angle BAE = 60^\circ$。
在正方形 $ABCD$ 中，$\angle DAB = 90^\circ$，所以 $\angle DAE = \angle DAB - \angle BAE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。
在 $\triangle ADE$ 中，$AD = AE = a$（$AD$ 是正方形边长，$AE$ 是等边三角形边长），所以 $\triangle ADE$ 是等腰三角形，$\angle ADE = \angle AED$。根据三角形内角和定理：
$\angle ADE + \angle AED + \angle DAE = 180^\circ$
$2\angle AED + 30^\circ = 180^\circ \implies \angle AED = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ$
同理，$\angle BEC = 75^\circ$（$\triangle BCE$ 与 $\triangle ADE$ 对称，证明过程完全相同）。
由于 $\angle AEB = 60^\circ$（等边三角形内角），且点 $E$ 在正方形内部，所以 $\angle DEC = 360^\circ - \angle AED - \angle AEB - \angle BEC$：
$\angle DEC = 360^\circ - 75^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 150^\circ$
【答案】：B

4. 已知直角三角形两直角边的比是$3 : 4$,斜边的长为$15\mathrm{cm}$,则斜边上的高为(B)
A.$8.6\mathrm{cm}$
B.$7.2\mathrm{cm}$
C.$9.6\mathrm{cm}$
D.$10\mathrm{cm}$

答案： 【解析】：
设直角三角形两直角边分别为$3k$和$4k$，斜边为$15\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 15^2$
$9k^2 + 16k^2 = 225$
$25k^2 = 225$
$k^2 = 9$
$k = 3$（负值舍去，因为边长不能为负）
所以两直角边分别为$3k = 9\mathrm{cm}$和$4k = 12\mathrm{cm}$。
设斜边上的高为$h$，根据直角三角形的面积公式，有：
$\frac{1}{2} × 9 × 12 = \frac{1}{2} × 15 × h$
$108 = 15h$
$h = 7.2\mathrm{cm}$
【答案】：B.$7.2\mathrm{cm}$