《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 如图 5-2 所示,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别是AB$,$AC$的中点,$∠A= 40^{\circ }$,$∠ADE= 60^{\circ }$,则$∠C$的度数为(80°)
A.$40^{\circ }$
B.$60^{\circ }$

C.$80^{\circ }$
D.$100^{\circ }$

答案： 【解析】：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线，所以DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC。
因为DE//BC，所以∠ADE与∠B是同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得∠B = ∠ADE = 60°。
在△ABC中，已知∠A = 40°，∠B = 60°，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 60° = 80°。
【答案】：C

4. 把一个矩形与一个三角尺按如图 5-3 所示的位置摆放,若$∠1= 40^{\circ }$,则$∠2$的度数为(D)

A.$125^{\circ }$
B.$120^{\circ }$
C.$140^{\circ }$
D.$130^{\circ }$

答案： D

5. 若正整数$a$,$b$,$c$是一组勾股数,则下列各组数一定是勾股数的是(C)
A.$a+1$,$b+1$,$c+1$
B.$a^{2}$,$b^{2}$,$c^{2}$
C.$2a$,$2b$,$2c$
D.$a-1$,$b-1$,$c-1$

答案： 【解析】：
A. 对于 $a+1$, $b+1$, $c+1$：
我们尝试代入一个常见的勾股数组合，例如 $a=3$, $b=4$, $c=5$，得到 $a+1=4$, $b+1=5$, $c+1=6$。
显然，$4^2 + 5^2 \neq 6^2$，所以A选项不一定是勾股数。
B. 对于 $a^2$, $b^2$, $c^2$：
使用同样的勾股数组合 $a=3$, $b=4$, $c=5$，我们得到 $a^2=9$, $b^2=16$, $c^2=25$。
显然，$9^2 + 16^2 \neq 25^2$，所以B选项不一定是勾股数。
C. 对于 $2a$, $2b$, $2c$：
根据勾股定理，若 $a^2 + b^2 = c^2$，则对于任意正实数 $k$，都有 $(ka)^2 + (kb)^2 = (kc)^2$。
代入 $k=2$，我们得到 $(2a)^2 + (2b)^2 = (2c)^2$，即 $4a^2 + 4b^2 = 4c^2$。
由于 $a^2 + b^2 = c^2$，所以 $4a^2 + 4b^2$ 必然等于 $4c^2$，因此C选项一定是勾股数。
D. 对于 $a-1$, $b-1$, $c-1$：
使用勾股数组合 $a=3$, $b=4$, $c=5$，我们得到 $a-1=2$, $b-1=3$, $c-1=4$。
显然，$2^2 + 3^2 \neq 4^2$，所以D选项不一定是勾股数。
综上所述，只有C选项一定是勾股数。
【答案】：C

1. 菱形中较大角是较小角的 3 倍,高为 5 cm,则这个菱形的边长为$5\sqrt{2}$cm.

答案： 【解析】：
设菱形中较小的角为$\alpha$，则较大的角为$180^\circ - \alpha$。
根据题意，有$180^\circ - \alpha = 3\alpha$。
解这个方程，我们得到：
$180^\circ = 4\alpha$
$\alpha = 45^\circ$
由于菱形的高是5 cm，我们可以利用45度角的直角三角形性质来求解菱形的边长。
在45度角的直角三角形中，若直角边（即高）为$a$，则斜边（即菱形的边长）为$\sqrt{2}a$。
因此，菱形的边长为：
$\text{边长} = \frac{5\text{ cm}}{\sin 45^\circ} = \frac{5\text{ cm}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2}\text{ cm}$
【答案】：$5\sqrt{2}\text{ cm}$

2. 如图 5-4 所示,在菱形$ABCD$中,对角线$AC交BD于点O$,$AB= 8$,$E是CB$的中点,则$OE$的长为____4.

答案： 【解析】：在菱形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，根据菱形的性质，对角线互相平分，所以$O$是$AC$的中点。
因为$E$是$CB$的中点，所以在$\triangle ABC$中，$OE$是连接两边中点的线段，即$OE$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知菱形的边长$AB = 8$，由于菱形的四条边都相等，所以$AB=BC = 8$。
因此，$OE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】：4

3. 如图 5-5 所示,四边形$ABCD$的对角线互相垂直,且$OB= OD$,再添加一个适当的条件$OA = OC$,四边形$ABCD$即成为菱形.

答案： 【解析】：已知四边形$ABCD$的对角线互相垂直，且$OB = OD$。对角线互相垂直平分的四边形是菱形，现在已有对角线互相垂直（$AC\perp BD$）和$OB = OD$（即$BD$被$AC$平分），所以只需添加$OA = OC$（即$AC$被$BD$平分），就能使对角线互相垂直平分，从而四边形$ABCD$成为菱形。
【答案】：$OA = OC$

4. 一次函数$y= kx+b$($k$,$b$为常数,且$k\neq 0$)的图象如图 5-6 所示,根据图象信息可求得关于$x的方程kx+b= 0$的解为$-\dfrac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $(0, 1)$ 和 $(1, 3)$。
将点 $(0, 1)$ 代入方程 $ y = kx + b $，可得 $ b = 1 $。
将点 $(1, 3)$ 代入方程 $ y = kx + b $，可得 $ k + b = 3 $。
因为 $ b = 1 $，所以 $ k + 1 = 3 $，解得 $ k = 2 $。
因此，一次函数的方程为 $ y = 2x + 1 $。
要求解 $ kx + b = 0 $，即 $ 2x + 1 = 0 $。
解得 $ x = -\frac{1}{2} $。
【答案】：$x = -\frac{1}{2}$