《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 如图3-8所示,在菱形ABCD中,$AB= 2,∠DAB= 60^{\circ }$,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1) 求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2) 当AM的长度为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.

(1) 见解析；(2) 1

答案： 【解析】：
(1) 证明四边形AMDN是平行四边形
由于ABCD是菱形，因此$CD // AB$。
点E是AD边的中点，因此$AE = ED$。
由于$ND // AM$，所以$\angle NDE = \angle MAE$且$\angle DNE = \angle AME$。
由此可得$\triangle NDE \cong \triangle MAE$（AAS），从而$ND = MA$。
因此，四边形AMDN是平行四边形（对边平行且相等）。
(2) 当AM的长度为何值时，四边形AMDN是矩形
已知$AB = 2$，由于菱形的性质，$AD = AB = 2$。
当$AM = 1$时，由于$\angle DAB = 60^\circ$，利用等边三角形的性质，可得$\triangle ADM$为等边三角形，从而$\angle DAM = 60^\circ$且$\angle AMD = 90^\circ$。
由于四边形AMDN是平行四边形，且有一个角为$90^\circ$，因此它是矩形。
【答案】：
(1) 四边形AMDN是平行四边形；
(2) 当$AM = 1$时，四边形AMDN是矩形。

你认为此问题的答案选项设计合理吗?为什么?如果不合理,请修改.
不合理，因为“踢足球”属于“体育活动”，选项存在包含关系。修改方案：将选项D改为“其他”，即A.看课外书；B.体育活动；C.看电视；D.其他。（修改方案合理即可，如也可删除D选项，保留前三项）

答案： 【解析】：此问题的答案选项设计不合理。因为选项D“踢足球”实际上是体育活动的一个具体项目，与选项B“体育活动”存在包含关系，这会导致选择上的重叠和混淆。为了更准确地了解同学们的课余生活，应该将选项设计得更加互斥和明确。
【答案】：不合理。因为D选项“踢足球”是体育活动的一种，与B选项“体育活动”存在包含关系。修改后的选项可以为：A.看课外书 B.参加体育活动（不包括踢足球）C.看电视 D.踢足球（或其他具体活动），或者更一般地，A.看课外书 B.进行体育运动 C.看电视 D.其他（请说明），以容纳不在A、B、C选项中的其他课余活动。