《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

1. 下列各式$y= 2x$,$y= \frac {1}{x}$,$y= |x|-1$,$|y|= x$,$y= x^{2}$中,$y是x$的函数的个数为(B)
A.5
B.4
C.3
D.2

答案： 【解析】：根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。
$y=2x$：对于任意x，y都有唯一确定的值，是函数。
$y=\frac{1}{x}$：x≠0时，y有唯一确定的值，是函数。
$y=|x|-1$：对于任意x，y都有唯一确定的值，是函数。
$|y|=x$：当x＞0时，y有两个值（正负）与之对应，不满足唯一性，不是函数。
$y=x^2$：对于任意x，y都有唯一确定的值，是函数。
综上，是函数的有4个。
【答案】：B

2. 已知一次函数$y= kx+b$的图象经过第一、二、四象限,且与$x轴交于点(2,0)$,则关于$x的不等式k(x-1)-b＞0$的解集为(A)
A.$x＜-1$
B.$x＞-1$
C.$x＞1$
D.$x＜1$

答案： 【解析】：已知一次函数$y = kx + b$的图象经过第一、二、四象限，根据一次函数的性质可知，$k ＜ 0$（斜率为负，函数从左到右下降），$b ＞ 0$（与$y$轴交点在正半轴）。
因为函数与$x$轴交于点$(2, 0)$，将$x = 2$，$y = 0$代入$y = kx + b$，可得$0 = 2k + b$，即$b=-2k$。
接下来解不等式$k(x - 1)-b ＞ 0$，将$b = -2k$代入不等式中，得到：
$\begin{aligned}k(x - 1)-(-2k)&＞0\\k(x - 1)+2k&＞0\\k[(x - 1)+2]&＞0\\k(x + 1)&＞0\end{aligned}$
由于$k ＜ 0$，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以：
$x + 1 ＜ 0$
解得$x ＜ -1$。
【答案】：A

3. 从等腰三角形底边上任意一点,分别作两腰的平行线,那么所形成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的(C)
A.周长的一半
B.周长
C.两腰长之和
D.腰长

答案： 【解析】：设等腰三角形为$△ABC$，$AB = AC$，底边$BC$上任意一点为$D$，过$D$作$DE// AC$交$AB$于$E$，作$DF// AB$交$AC$于$F$，则四边形$AEDF$是平行四边形，所以$DE = AF$，$DF = AE$，平行四边形$AEDF$的周长为$2(AE + AF)$。
因为$DE// AC$，所以$\angle EDB=\angle C$，又因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$，故$\angle EDB=\angle B$，则$EB = ED$，同理$FD = FC$。
所以$AE + EB = AB$，即$AE + ED = AB$，而$ED = AF$，所以$AE + AF = AB$，因此平行四边形$AEDF$的周长为$2AB$，即等于等腰三角形两腰长之和。
【答案】：C

4. 如图8-7所示,在边长为2的正方形$ABCD$中,$M为边AD$的中点,延长$MD至点E$,使$ME= MC$,以$DE为边作正方形DEFG$,点$G在边CD$上,则$DG$的长为(D)

A.$\sqrt {3}-1$
B.$3-\sqrt {5}$
C.$\sqrt {5}+1$
D.$\sqrt {5}-1$

答案： 【解析】：在正方形$ABCD$中，边长为$2$，$M$为$AD$中点，所以$AM = MD=1$，$CD = 2$。在$Rt\triangle MCD$中，根据勾股定理可得$MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。因为$ME = MC$，所以$ME=\sqrt{5}$，又因为$MD = 1$，所以$DE=ME - MD=\sqrt{5}-1$。由于四边形$DEFG$是正方形，所以$DG = DE=\sqrt{5}-1$。
【答案】：D

5. 如图8-8①所示,$□ ABCD$中,$AD＞AB$,$∠ABC$为锐角. 要在对角线$BD上找点N$,$M$,使四边形$ANCM$为平行四边形,现有图8-8②中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案(A)

A.甲、乙、丙都是
B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是
D.只有乙、丙才是

答案： 【解析】：在平行四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB = CD$，$\angle ABD=\angle CDB$，$AD// BC$，$AD = BC$，$\angle ADB=\angle CBD$。
甲方案：取$BD$中点$O$，$BN = NO$，$OM=MD$。
因为$O$是$BD$中点，所以$BO = OD$。
由$BN=NO$可得$NO=\frac{1}{2}BO$，由$OM = MD$可得$OM=\frac{1}{2}OD$，又因为$BO = OD$，所以$NO=OM$。
因为$BO = OD$，$BN=NO$，所以$BN + NO=BO$，即$2NO=BO$，同理$2OM=OD$，所以$NO = OM$，则$BN=NO=OM=MD$，所以$BN + NO=OM + MD$，即$BN + NO=OD$，又因为$BO = OD$，所以$BN + NO=BO$，即$N$为$BO$中点，$M$为$OD$中点，所以$ON=OM$。
在四边形$ANCM$中，对角线$AC$与$NM$相交于点$O$，$AO = OC$（平行四边形对角线互相平分），$NO=OM$，所以四边形$ANCM$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），甲方案正确。
乙方案：作$AN\perp BD$于$N$，$CM\perp BD$于$M$。
因为$AN\perp BD$，$CM\perp BD$，所以$\angle ANO=\angle CMO = 90^{\circ}$（设$AC$与$BD$交于点$O$）。
在平行四边形$ABCD$中，$AO = OC$，$\angle AON=\angle COM$（对顶角相等）。
在$\triangle ANO$和$\triangle CMO$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ANO=\angle CMO\\\angle AON=\angle COM\\AO = CO\end{array}\right.$，所以$\triangle ANO\cong\triangle CMO(AAS)$，则$AN = CM$，$ON=OM$。
因为$AN\perp BD$，$CM\perp BD$，所以$AN// CM$（垂直于同一条直线的两条直线平行），又因为$AN = CM$，所以四边形$ANCM$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），乙方案正确。
丙方案：作$AN$平分$\angle BAD$，$CM$平分$\angle BCD$。
在平行四边形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle BCD$（平行四边形对角相等），因为$AN$平分$\angle BAD$，$CM$平分$\angle BCD$，所以$\angle BAN=\angle DAN=\frac{1}{2}\angle BAD$，$\angle BCM=\angle DCM=\frac{1}{2}\angle BCD$，所以$\angle BAN=\angle DCM$，$\angle DAN=\angle BCM$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ADB=\angle CBD$。
在$\triangle ADN$和$\triangle CBM$中，$\angle DAN=\angle BCM$，$AD = BC$（平行四边形对边相等），$\angle ADN=\angle CBM$，所以$\triangle ADN\cong\triangle CBM(ASA)$，则$AN = CM$，$DN = BM$。
因为$BD = BD$，$DN=BM$，所以$BD - DN=BD - BM$，即$BN = DM$。
在$\triangle ABN$和$\triangle CDM$中，$AB = CD$（平行四边形对边相等），$\angle ABN=\angle CDM$（平行四边形对边平行，内错角相等），$BN = DM$，所以$\triangle ABN\cong\triangle CDM(SAS)$，则$\angle ANB=\angle CMD$，所以$\angle ANM=\angle CMN$（等角的补角相等），所以$AN// CM$。
因为$AN = CM$且$AN// CM$，所以四边形$ANCM$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），丙方案正确。
综上，甲、乙、丙三种方案都正确。
【答案】：A