《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

5. 定义运算“※”为$a※b= \left\{\begin{array}{l}-ab(b＞0),\\ ab(b\leqslant 0),\end{array} \right.如1※(-2)= 1× (-2)= -2$,则函数$y= 2※x$的图象大致是(A)

答案： 【解析】：根据定义运算“※”，对于函数$y = 2※x$，需要分两种情况讨论：
当$x ＞ 0$时，$y = -2x$，这是一个斜率为$-2$的正比例函数，经过第二、四象限，在$x ＞ 0$的部分，函数值$y$随$x$的增大而减小，且过原点。
当$x \leq 0$时，$y = 2x$，这是一个斜率为$2$的正比例函数，经过第一、三象限，在$x \leq 0$的部分，函数值$y$随$x$的增大而增大，且过原点。
综合来看，函数图象在$y$轴左侧（含原点）是斜率为$2$的射线，在$y$轴右侧是斜率为$-2$的射线，符合选项A的图象特征。
【答案】：A

1. 计算：$3×2^{0}-(\frac {1}{2})^{-2}+\frac {2}{\sqrt {3}-1}$.

答案： 【解析】：
首先计算 $3×2^{0}$，由于任何非零数的0次方都是1，所以 $2^{0} = 1$，因此 $3×2^{0} = 3$。
接着计算 $(\frac {1}{2})^{-2}$，负指数表示倒数，所以 $(\frac {1}{2})^{-2} = 2^{2} = 4$。
最后计算 $\frac {2}{\sqrt {3}-1}$，为了消去分母中的根号，我们可以用共轭式的方法，即与其相乘的共轭式 $\sqrt {3}+1$：
$\frac {2}{\sqrt {3}-1} × \frac {\sqrt {3}+1}{\sqrt {3}+1} = \frac {2(\sqrt {3}+1)}{(\sqrt {3}-1)(\sqrt {3}+1)} = \frac {2(\sqrt {3}+1)}{3-1} = \sqrt {3}+1$
将上述三部分结果相加得：
$3 - 4 + \sqrt {3} + 1 = \sqrt {3}$
【答案】：$\sqrt {3}$

2. 如图 11 - 9 所示,在$△ABC$中,$∠B= ∠C$,$D 是 BC $的中点,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,垂足分别为$ E$,$F$. 求证：
(1)$△BDE\cong △CDF$证明：因为∠B=∠C，所以△ABC是等腰三角形。D是BC的中点，所以BD=CD。DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD，根据AAS定理，可得△BDE≌△CDF；
(2)当$△ABC$为直角三角形时,四边形$ AEDF $是正方形证明：当△ABC为直角三角形时，因为∠B=∠C，所以∠A=90°，∠B=∠C=45°。DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°，则四边形AEDF是矩形。由(1)知△BDE≌△CDF，所以DE=DF。邻边相等的矩形是正方形，所以四边形AEDF是正方形.

答案： 【解析】：
(1)证明$△BDE\cong△CDF$：
已知$D$是$BC$的中点，根据中点的定义，可得$BD = CD$。
因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle BED=\angle CFD = 90^{\circ}$。
又已知$\angle B=\angle C$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle BED=\angle CFD,\\\angle B=\angle C,\\BD = CD.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。
(2)证明当$\triangle ABC$为直角三角形时，四边形$AEDF$是正方形：
因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle AED=\angle AFD = 90^{\circ}$。
已知$\angle A = 90^{\circ}$，根据四边形的内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle EDF=360^{\circ}-\angle A - \angle AED-\angle AFD=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
所以四边形$AEDF$是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）。
由（1）可知$\triangle BDE\cong\triangle CDF$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$DE = DF$。
一组邻边相等的矩形是正方形，因为四边形$AEDF$是矩形且$DE = DF$，所以四边形$AEDF$是正方形。
【答案】：
(1)因为$BD = CD$，$\angle BED=\angle CFD = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，所以$\triangle BDE\cong\triangle CDF(AAS)$；
(2)因为$\angle AED=\angle AFD=\angle EDF = 90^{\circ}$，所以四边形$AEDF$是矩形，又因为$DE = DF$，所以四边形$AEDF$是正方形。