《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 如图2-2所示,在菱形$ABCD$中,$AB = 3$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,则对角线$AC$的长为 (D)

A.12
B.9
C.6

D.3

答案： 【解析】：在菱形$ABCD$中，$AB = BC$（菱形的四条边相等）。已知$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。因此，$AC = AB = 3$。
【答案】：D

4. 如图2-3所示,在$□ ABCD$中,$\angle B = 110^{\circ}$,延长$AD至点F$,延长$CD至点E$,连接$EF$,则$\angle E+\angle F= $ (D)

A.$110^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 【解析】：在平行四边形$ABCD$中，$\angle B = 110^{\circ}$，因为平行四边形的邻角互补，所以$\angle ADC=\angle B = 110^{\circ}$。延长$AD$至点$F$，延长$CD$至点$E$，则$\angle FDC = 180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。在$\triangle DEF$中，$\angle E+\angle F+\angle FDC = 180^{\circ}$，所以$\angle E+\angle F=180^{\circ}-\angle FDC = 180^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。
【答案】：D

5. 将直线$y = 2x + 1$向下平移n个单位长度,得到新直线$y = 2x - 1$,则$n$的值为 (D)
A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 【解析】：
对于直线 $y = 2x + 1$，当它向下平移 $n$ 个单位长度后，新的直线方程应为 $y = 2x + 1 - n$。
题目给出新直线的方程为 $y = 2x - 1$。
将两个方程进行比较，即：
$2x + 1 - n = 2x - 1$
消去相同的项 $2x$，得到：
$1 - n = -1$
解这个方程，得到 $n = 2$。
【答案】：D

1. 若直线$y = x$向上平移3个单位长度后经过点$(2,m)$,则$m$的值为5.

答案： 【解析】：直线$y = x$向上平移3个单位长度后，根据平移规律“上加下减”，得到新的直线解析式为$y = x + 3$。因为这条直线经过点$(2,m)$，所以将$x = 2$代入$y = x + 3$中，可得$m = 2 + 3 = 5$。
【答案】：5

2. 如图2-4所示,$□ ABCD$的周长为36,对角线$AC$,$BD相交于点O$. 点$E是CD$的中点,$BD = 12$,则$\triangle DOE$的周长为____15.

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，
所以$OB = OD=\frac{1}{2}BD$，
已知$BD = 12$，则$OD=\frac{1}{2}×12 = 6$。
因为四边形$ABCD$的周长为$36$，
所以$BC + CD=\frac{1}{2}×36 = 18$。
又因为点$E$是$CD$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}CD$，
而$O$是$BD$中点，所以$OE$是$\triangle BCD$的中位线，
根据中位线定理可得$OE=\frac{1}{2}BC$。
则$\triangle DOE$的周长为$OD + DE + OE$
$=OD+\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}BC$
$=OD+\frac{1}{2}(CD + BC)$
把$OD = 6$，$CD + BC = 18$代入上式可得：
$\triangle DOE$的周长$=6+\frac{1}{2}×18=6 + 9=15$。
【答案】：15

3. $\triangle ABC$的周长为40cm,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC:CA = 15:8$,则它的斜边长为17cm,$S_{\triangle ABC}= $60cm².

答案： 【解析】：设 $ BC = 15k \, \text{cm} $，$ CA = 8k \, \text{cm} $（$ k ＞ 0 $）。
因为 $ \angle C = 90^\circ $，由勾股定理得斜边长 $ AB = \sqrt{(15k)^2 + (8k)^2} = \sqrt{225k^2 + 64k^2} = \sqrt{289k^2} = 17k \, \text{cm} $。
已知周长为 $ 40 \, \text{cm} $，则 $ 15k + 8k + 17k = 40 $，即 $ 40k = 40 $，解得 $ k = 1 $。
因此，斜边长 $ AB = 17k = 17 \, \text{cm} $，两直角边 $ BC = 15 \, \text{cm} $，$ CA = 8 \, \text{cm} $。
三角形面积 $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × CA = \frac{1}{2} × 15 × 8 = 60 \, \text{cm}^2 $。
【答案】：17cm，60cm²

4. 一个三角形的三边长分别是6cm,8cm,12cm,它的三条中位线把它分成三个平行四边形,则它们中周长最小的是14cm.

答案： 【解析】：已知三角形三边长分别为6cm、8cm、12cm。根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以三条中位线的长度分别为：$6÷2 = 3$cm，$8÷2 = 4$cm，$12÷2 = 6$cm。
三条中位线将原三角形分成了四个小三角形和三个平行四边形（此处题目表述“三个平行四边形”准确，每个平行四边形由一组中位线和原三角形的两边部分线段组成）。每个平行四边形的边分别为一条中位线和与该中位线平行的原三角形边的一半（因为中位线平行且等于第三边一半，所以平行四边形的邻边为中位线长和对应原边的一半）。
具体分析三个平行四边形：
1. 以长度为3cm的中位线为一边的平行四边形，其邻边为原三角形8cm边的一半，即$8÷2 = 4$cm，周长为$2×(3 + 4)=14$cm。
2. 以长度为4cm的中位线为一边的平行四边形，其邻边为原三角形12cm边的一半，即$12÷2 = 6$cm，周长为$2×(4 + 6)=20$cm。
3. 以长度为6cm的中位线为一边的平行四边形，其邻边为原三角形6cm边的一半，即$6÷2 = 3$cm，周长为$2×(6 + 3)=18$cm。
比较三个平行四边形的周长14cm、18cm、20cm，最小的是14cm。
【答案】：14