《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

4. 如图$7 - 4$所示,一次函数的图象经过点$A$,$B$,则该一次函数的表达式为(B)

A.$y = -\frac{1}{2}x + 1$
B.$y = \frac{1}{2}x + 1$
C.$y = -2x + 1$
D.$y = 2x + 1$

答案： 【解析】：
设一次函数表达式为$y = kx + b$。
图象经过点$A(0,1)$和$B(-2,0)$，将两点坐标代入表达式：
对于点$A(0,1)$，有$1 = k \cdot 0 + b$，得$b = 1$。
对于点$B(-2,0)$，有$0 = k \cdot (-2) + 1$，即$-2k + 1 = 0$，解得$k = \frac{1}{2}$。
因此，一次函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 1$。
【答案】：B

5. 对角线互相垂直平分的四边形一定是(B)
A.矩形
B.菱形
C.梯形
D.无法确定

答案： 【解析】：
A选项：矩形的对角线确实相等，但它们并不互相垂直平分。所以A选项不正确。
B选项：菱形的对角线互相垂直并且平分对方。这符合题目描述。
C选项：梯形的对角线一般不具备互相垂直平分的性质。所以C选项不正确。
D选项：由于我们已经确定了答案是菱形，所以此选项也不正确。
【答案】：B

1. 计算：$\sqrt{27} - \frac{\sqrt{3}}{2} = $$\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

答案： 【解析】：
首先，我们需要化简$\sqrt{27}$，
$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = \sqrt{9} × \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
然后，我们将化简后的$3\sqrt{3}$与$\frac{\sqrt{3}}{2}$进行减法运算，
$3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$
【答案】：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

2. 如图$7 - 5$所示,在平面直角坐标系中,直线$l$经过原点,且与$y轴正半轴所夹的锐角为60^{\circ}$,过点$A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B$,过点$B作直线l的垂线交y轴于点A_1$,以$A_1B$,$BA为邻边作□ ABA_1C_1$；过点$A_1作y轴的垂线交直线l于点B_1$,过点$B_1作直线l的垂线交y轴于点A_2$,以$A_2B_1$,$B_1A_1为邻边作□ A_1B_1A_2C_2……$按此作法继续下去,则$C_n$的坐标是____.

答案： 【解析】：首先，直线$l$经过原点且与$y$轴正半轴夹角为$60^{\circ}$，所以其与$x$轴正半轴夹角为$30^{\circ}$，斜率$k = \tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线$l$的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
点$A(0,1)$，过$A$作$y$轴垂线（即$x$轴平行线）交$l$于$B$，则$B$的纵坐标为$1$，代入$l$方程得$1 = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，解得$x=\sqrt{3}$，所以$B(\sqrt{3},1)$。
过$B$作$l$的垂线交$y$轴于$A_1$。直线$l$斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，其垂线斜率为$-\sqrt{3}$，所以垂线方程为$y - 1=-\sqrt{3}(x - \sqrt{3})$，即$y=-\sqrt{3}x + 4$。令$x=0$，得$A_1(0,4)$。
以$A_1B$，$BA$为邻边作平行四边形$ABA_1C_1$。向量$\overrightarrow{BA}=(-\sqrt{3},0)$，向量$\overrightarrow{BA_1}=(-\sqrt{3},3)$，则$\overrightarrow{BC_1}=\overrightarrow{BA_1}=(-\sqrt{3},3)$，所以$C_1 = B + \overrightarrow{BC_1}=(\sqrt{3}-\sqrt{3},1 + 3)=(0,4)$? 不对，应该用向量加法：在平行四边形中，$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1}$，$A(0,1)$，$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,3)$，所以$C_1 = A + \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1}=(\sqrt{3},4)$？或者用坐标关系：平行四边形对边平行且相等，$ABA_1C_1$中，$AB$平行且等于$A_1C_1$，$AB$的坐标变化是$(\sqrt{3},0)$，所以$C_1 = A_1 + (\sqrt{3},0)=(0 + \sqrt{3},4 + 0)=(\sqrt{3},4)$。
接下来求$B_1$：过$A_1(0,4)$作$y$轴垂线交$l$于$B_1$，$B_1$纵坐标为$4$，代入$l$方程得$4=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，$x=4\sqrt{3}$，所以$B_1(4\sqrt{3},4)$。
过$B_1$作$l$的垂线交$y$轴于$A_2$，垂线斜率为$-\sqrt{3}$，方程为$y - 4=-\sqrt{3}(x - 4\sqrt{3})$，即$y=-\sqrt{3}x + 16$，令$x=0$，得$A_2(0,16)$。
平行四边形$A_1B_1A_2C_2$中，$A_1B_1$平行且等于$A_2C_2$，$\overrightarrow{A_1B_1}=(4\sqrt{3},0)$，所以$C_2 = A_2 + (4\sqrt{3},0)=(4\sqrt{3},16)$。
观察$C_1(\sqrt{3},4)=(\sqrt{3}×1,4^1)$，$C_2(4\sqrt{3},16)=(\sqrt{3}×4,4^2)$，$4 = 4^1$，$4^2 = 16$，横坐标系数$1,4,16...$是$4^{n - 1}$，所以$C_n$的横坐标为$\sqrt{3}×4^{n - 1}$，纵坐标为$4^n$。
验证$n=1$时，$(\sqrt{3}×4^{0},4^1)=(\sqrt{3},4)$正确；$n=2$时，$(\sqrt{3}×4^{1},4^2)=(4\sqrt{3},16)$正确。
【答案】：$(\sqrt{3}×4^{n - 1},4^n)$

3. 李老师开车从甲地到相距$240\mathrm{km}$的乙地,如果油箱剩余油量$y(\mathrm{L})与行驶路程x(\mathrm{km})$之间是一次函数关系,其图象如图$7 - 6$所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是____5$\mathrm{L}$.

答案： 【解析】：设油箱剩余油量$y$与行驶路程$x$之间的一次函数关系式为$y = kx + b$。
由图象可知，当$x = 0$时，$y = 35$，所以$b = 35$，函数关系式为$y = kx + 35$。
又因为当$x = 160$时，$y = 15$，将其代入函数关系式可得：$15 = 160k + 35$，
$160k = 15 - 35 = -20$，解得$k = -\frac{20}{160} = -\frac{1}{8}$。
所以函数关系式为$y = -\frac{1}{8}x + 35$。
当$x = 240$时，$y = -\frac{1}{8}×240 + 35 = -30 + 35 = 5$。
【答案】：5