《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 如图2-9所示,在矩形$ABCD$中,$E$,$F分别是边AB$,$CD$上的点,$AE = CF$,连接$EF$,$BF$,$EF与对角线AC交于点O$,且$BE = BF$,$\angle BEF = 2\angle BAC$.
(1) 求证：$OE = OF$；
(2) 若$BC = 2\sqrt{3}$,求$AB$的长.

(1) 证明见解析；(2) 6

答案： 【解析】：
（1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，
所以$AB// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，
所以$\angle FCO=\angle EAO$，
在$\triangle FCO$和$\triangle EAO$中，
$\begin{cases}\angle FOC=\angle EOA,\\\angle FCO=\angle EAO,\\CF=AE.\end{cases}$
根据AAS定理，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，
所以$\triangle FCO\cong\triangle EAO$，
根据全等三角形对应边相等，
所以$OF=OE$。
（2）连接$OB$，
因为$BE=BF$，$OE=OF$，
根据等腰三角形三线合一，
所以$BO\perp EF$，
设$\angle BEO=\beta$，则$\angle EBO=\angle FBO=\angle BAC= \frac{\beta}{2}$，
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle BCF$中，
$\begin{cases}AE=CF,\\AB=BC.\end{cases}$
根据HL定理，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
所以$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle BCF$，
在$Rt\triangle BEO$中，$BE=BF=2OE$，
所以$\angle OBE=30^{\circ}$，$\angle OEB=60^{\circ}$，$\angle BAC= \angle ABO=30^{\circ}$，
所以$AB= \sqrt{3}BC$，
因为$BC=2\sqrt{3}$，
所以$AB=6$。
【答案】：
(1) 证明过程如上；
(2) $6$。

4. 如图2-10所示,直线$y = kx + b与x$轴、$y轴分别交于点A$,$B$,点$A的坐标为(-2,0)$,点$B的坐标为(0,4)$.
(1) 求直线$AB$的表达式；$y = 2x + 4$
(2) 将$\triangle AOB$向右平移6个单位长度,得到$\triangle A_1O_1B_1$,求线段$OB_1$的长；$2\sqrt{13}$
(3) 求四边形$AO_1B_1B$的面积.32

答案： 【解析】：
(1) 已知直线$y = kx + b$过点$A(-2,0)$和$B(0,4)$，将点$B(0,4)$代入得$b = 4$。再将点$A(-2,0)$和$b = 4$代入$y = kx + 4$，可得$0=-2k + 4$，解得$k = 2$，所以直线$AB$的表达式为$y = 2x + 4$。
(2) 因为$\triangle AOB$向右平移$6$个单位长度得到$\triangle A_1O_1B_1$，点$B$的坐标为$(0,4)$，所以点$B_1$的坐标为$(0 + 6,4)=(6,4)$，点$O$的坐标为$(0,0)$，则$OB_1$的长为$\sqrt{(6 - 0)^2+(4 - 0)^2}=\sqrt{36 + 16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
(3) 由平移可知，点$O_1$的坐标为$(0 + 6,0)=(6,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，点$B_1$的坐标为$(6,4)$，点$A$的坐标为$(-2,0)$。四边形$AO_1B_1B$可以看作是梯形，上底为$OB = 4$，下底为$O_1B_1 = 4$（因为平移后$O_1B_1 = OB$），高为$OO_1 = 6$与$AO = 2$之和，即$6 + 2 = 8$。根据梯形面积公式可得面积为$\frac{(4 + 4)×8}{2}=32$。
【答案】：
(1)$y = 2x + 4$；
(2)$2\sqrt{13}$；
(3)$32$

正方形$A_1B_1C_1O$,$A_2B_2C_2C_1$,$A_3B_3C_3C_2$,…按如图2-11所示的方式放置,点$A_1$,$A_2$,$A_3$,…和点$C_1$,$C_2$,$C_3$,…分别在直线$y = x + 1和x$轴上,则点$B_n$的坐标为____$(2^n - 1, 2^{n - 1})$. ($n$为正整数)

答案： 【解析】：设正方形$A_1B_1C_1O$的边长为$a_1$，因为点$A_1$在直线$y = x + 1$上，且点$O$为坐标原点，所以点$A_1$的坐标为$(0, a_1)$。将$A_1(0, a_1)$代入$y = x + 1$，可得$a_1 = 0 + 1 = 1$，则$OC_1 = a_1 = 1$，所以点$C_1$的坐标为$(1, 0)$，点$B_1$的坐标为$(a_1, a_1) = (1, 1)$。
设正方形$A_2B_2C_2C_1$的边长为$a_2$，则点$A_2$的横坐标为$OC_1 = 1$，纵坐标为$a_2$，所以点$A_2$的坐标为$(1, a_2)$。将$A_2(1, a_2)$代入$y = x + 1$，可得$a_2 = 1 + 1 = 2$，则$C_1C_2 = a_2 = 2$，所以点$C_2$的坐标为$(1 + 2, 0) = (3, 0)$，点$B_2$的坐标为$(1 + a_2, a_2) = (3, 2)$。
设正方形$A_3B_3C_3C_2$的边长为$a_3$，则点$A_3$的横坐标为$OC_2 = 3$，纵坐标为$a_3$，所以点$A_3$的坐标为$(3, a_3)$。将$A_3(3, a_3)$代入$y = x + 1$，可得$a_3 = 3 + 1 = 4$，则$C_2C_3 = a_3 = 4$，所以点$C_3$的坐标为$(3 + 4, 0) = (7, 0)$，点$B_3$的坐标为$(3 + a_3, a_3) = (7, 4)$。
观察点$B_1(1, 1)$、$B_2(3, 2)$、$B_3(7, 4)$的坐标，横坐标分别为$2^1 - 1 = 1$，$2^2 - 1 = 3$，$2^3 - 1 = 7$；纵坐标分别为$2^0 = 1$，$2^1 = 2$，$2^2 = 4$。由此可推测，点$B_n$的横坐标为$2^n - 1$，纵坐标为$2^{n - 1}$，所以点$B_n$的坐标为$(2^n - 1, 2^{n - 1})$。
【答案】：$(2^n - 1, 2^{n - 1})$