《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

3. 如图$1-8$所示,过$□ ABCD的对角线的交点O作互相垂直的两条直线EG$,$FH$,与$□ ABCD各边分别相交于点E$,$G$,$F$,$H$. 求证：四边形$EFGH$是菱形.

证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，其对角线交点为$O$，所以$OA = OC$，$OB = OD$，且$AD// BC$，$AB// CD$。
由于$AD// BC$，可得$\angle OAE=\angle OCG$。在$\triangle OAE$和$\triangle OCG$中，$\angle OAE = \angle OCG$，$OA=OC$，$\angle AOE=\angle COG$（对顶角相等），所以$\triangle OAE≌\triangle OCG(ASA)$，则$OE = OG$。
同理，因为$AB// CD$，可得$\angle OBF=\angle ODH$。在$\triangle OBF$和$\triangle ODH$中，$\angle OBF = \angle ODH$，$OB = OD$，$\angle BOF=\angle DOH$（对顶角相等），所以$\triangle OBF≌\triangle ODH(ASA)$，则$OF = OH$。
因为$OE = OG$且$OF = OH$，所以四边形$EFGH$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$EG\perp FH$，即平行四边形$EFGH$的对角线互相垂直，所以四边形$EFGH$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
故四边形$EFGH$是菱形。

答案： 【解析】：因为四边形$ABCD$是平行四边形，其对角线交点为$O$，所以$OA = OC$，$OB = OD$，且$AD// BC$，$AB// CD$。
由于$AD// BC$，可得$\angle OAE=\angle OCG$。在$\triangle OAE$和$\triangle OCG$中，$\angle OAE = \angle OCG$，$OA=OC$，$\angle AOE=\angle COG$（对顶角相等），所以$\triangle OAE≌\triangle OCG(ASA)$，则$OE = OG$。
同理，因为$AB// CD$，可得$\angle OBF=\angle ODH$。在$\triangle OBF$和$\triangle ODH$中，$\angle OBF = \angle ODH$，$OB = OD$，$\angle BOF=\angle DOH$（对顶角相等），所以$\triangle OBF≌\triangle ODH(ASA)$，则$OF = OH$。
因为$OE = OG$且$OF = OH$，所以四边形$EFGH$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$EG\perp FH$，即平行四边形$EFGH$的对角线互相垂直，所以四边形$EFGH$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】：四边形$EFGH$是菱形。

4. 将平面直角坐标系中过某一定点且不与$x$轴垂直的直线,叫该定点的“友好线”. 若点$P(1,0)$,则点$P$的“友好线”可记为$y= k(x-1)$.
(1)已知点$A$的“友好线”可记为$y= kx-3k+\sqrt {3}$,则点$A$的坐标为______$(3,\sqrt{3})$；
(2)若点$B(3,2)$的“友好线”恰好经过点$(1,1)$,求该“友好线”的表达式；
(3)已知点$M在点Q$的“友好线”$y= k(x+2)-1$上,点$N在直线y= -\frac {1}{3}x+2$上,若点$M(a,m)$,$N(a,n)$,且当$-3\leqslant a\leqslant 3$时,$m\leqslant n$,请直接写出$k$的取值范围.
$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
$-4\leqslant k\leqslant\frac{2}{5}$

答案： 【解析】：
(1) 对于点$A$的“友好线”$y = kx - 3k+\sqrt{3}$，可变形为$y=k(x - 3)+\sqrt{3}$。根据“友好线”定义，当$x = 3$时，无论$k$取何值（$k$存在且直线不与$x$轴垂直），$y=\sqrt{3}$，所以点$A$的坐标为$(3,\sqrt{3})$。
(2) 因为点$B(3,2)$的“友好线”不与$x$轴垂直，所以设其表达式为$y - 2 = k(x - 3)$（$k$为斜率且$k$存在）。已知该直线经过点$(1,1)$，将$(1,1)$代入表达式可得：$1 - 2=k(1 - 3)$，即$-1=-2k$，解得$k=\frac{1}{2}$。所以该“友好线”的表达式为$y - 2=\frac{1}{2}(x - 3)$，化简得$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
(3) 因为点$M(a,m)$在点$Q$的“友好线”$y = k(x + 2)-1$上，所以$m=k(a + 2)-1$；点$N(a,n)$在直线$y=-\frac{1}{3}x + 2$上，所以$n=-\frac{1}{3}a + 2$。由$m\leqslant n$可得：$k(a + 2)-1\leqslant-\frac{1}{3}a + 2$，整理得$ka+2k-1+\frac{1}{3}a - 2\leqslant0$，即$(k+\frac{1}{3})a+2k - 3\leqslant0$。设$f(a)=(k+\frac{1}{3})a+2k - 3$，因为当$-3\leqslant a\leqslant3$时，$f(a)\leqslant0$恒成立，所以分三种情况讨论：
当$k+\frac{1}{3}=0$，即$k=-\frac{1}{3}$时，$f(a)=0× a+2×(-\frac{1}{3})-3=-\frac{2}{3}-3=-\frac{11}{3}\leqslant0$，恒成立。
当$k+\frac{1}{3}＞0$，即$k＞-\frac{1}{3}$时，函数$f(a)$在$-3\leqslant a\leqslant3$上单调递增，所以只需$f(3)\leqslant0$。即$(k+\frac{1}{3})×3+2k - 3\leqslant0$，$3k + 1+2k - 3\leqslant0$，$5k - 2\leqslant0$，解得$k\leqslant\frac{2}{5}$。所以此时$-\frac{1}{3}＜k\leqslant\frac{2}{5}$。
当$k+\frac{1}{3}＜0$，即$k＜-\frac{1}{3}$时，函数$f(a)$在$-3\leqslant a\leqslant3$上单调递减，所以只需$f(-3)\leqslant0$。即$(k+\frac{1}{3})×(-3)+2k - 3\leqslant0$，$-3k - 1+2k - 3\leqslant0$，$-k - 4\leqslant0$，解得$k\geqslant - 4$。所以此时$-4\leqslant k＜-\frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$-4\leqslant k\leqslant\frac{2}{5}$。
【答案】：
(1)$(3,\sqrt{3})$；
(2)$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$；
(3)$-4\leqslant k\leqslant\frac{2}{5}$

如图$1-9$所示,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“$\to$”方向排列,如$(1,0)$,$(2,0)$,$(2,1)$,$(3,1)$,$(3,0)$,$(3,-1)$,…,根据这个规律探索可得,第$100$个点的坐标为(D)

A.$(14,0)$
B.$(14,-1)$
C.$(14,1)$
D.$(14,2)$

答案： 【解析】：观察图形中点的排列规律，可按横坐标分组分析：
横坐标为1时，有1个点：(1,0)，累计点数1；
横坐标为2时，有2个点：(2,0)→(2,1)，累计点数1+2=3；
横坐标为3时，有3个点：(3,1)→(3,0)→(3,-1)，累计点数3+3=6；
横坐标为4时，有4个点：(4,-1)→(4,0)→(4,1)→(4,2)，累计点数6+4=10；
横坐标为5时，有5个点：(5,2)→(5,1)→(5,0)→(5,-1)→(5,-2)，累计点数10+5=15；
……
总结规律：横坐标为n时，点的个数为n，且当n为奇数时，点的纵坐标从(n-1)/2向下递减到-(n-1)/2；当n为偶数时，点的纵坐标从-(n/2 -1)向上递增到n/2。
设前k个横坐标的累计点数为S=1+2+3+…+k=k(k+1)/2。求满足S≤100的最大k：
当k=13时，S=13×14/2=91；
当k=14时，S=14×15/2=105（超过100）。
故第100个点在横坐标为14的组内，该组有14个点，前13组累计91个点，因此第100个点是横坐标为14的第100-91=9个点。
横坐标14为偶数，纵坐标从-(14/2 -1)=-6开始向上递增，依次为：
第1个：(14,-6)，第2个：(14,-5)，……，第9个：(14,-6+8)= (14,2)。
【答案】：D