《2025年暑假生活八年级数学河北少年儿童出版社》

1. 求下列函数的表达式：
(1)正比例函数的图象经过点$(3,4)$；
(2)一次函数的图象经过点$(6,-8)和(-1,-2)$.

答案： 【解析】：
(1)设正比例函数的表达式为$y=kx(k\neq0)$，因为函数图象经过点$(3,4)$，将$x=3$，$y=4$代入表达式可得$4 = 3k$，解得$k=\frac{4}{3}$，所以该正比例函数的表达式为$y = \frac{4}{3}x$。
(2)设一次函数的表达式为$y=mx + n(m\neq0)$，由于函数图象经过点$(6,-8)$和$(-1,-2)$，将这两个点的坐标分别代入表达式可得方程组$\begin{cases}-8=6m + n\\-2=-m + n\end{cases}$。用第一个方程减去第二个方程消去$n$：$-8 - (-2)=6m + n - (-m + n)$，即$-6 = 7m$，解得$m=-\frac{6}{7}$。将$m = -\frac{6}{7}$代入第二个方程$-2=-(-\frac{6}{7})+n$，可得$-2=\frac{6}{7}+n$，解得$n=-\frac{20}{7}$，所以该一次函数的表达式为$y=-\frac{6}{7}x-\frac{20}{7}$。
【答案】：
(1)$y = \frac{4}{3}x$；
(2)$y=-\frac{6}{7}x-\frac{20}{7}$

2. 如图8-9所示,在$□ ABCD$中,$AE⊥BC$,垂足为$E$,$CE= CD$,点$F为CE$的中点,点$G为CD$上的一点,连接$DF$,$EG$,$AG$,$∠1= ∠2$.
(1)若$CF= 2$,$AE= 3$,求$BE$的长；$\sqrt{7}$
(2)求证：$CD= 2CG$.证明见解析

答案： 【解析】：
(1)因为点F为CE的中点，CF=2，所以CE=2CF=4。又因为CE=CD，且四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=CE=4。因为AE⊥BC，所以∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，AB=4，根据勾股定理可得BE=$\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
(2)延长AG、BC交于点H。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC，所以∠DAG=∠H。在△ADG和△HCG中，∠DAG=∠H，∠AGD=∠HGC，所以△ADG∽△HCG，所以$\frac{AD}{CH}=\frac{DG}{CG}$。因为∠1=∠2，∠1=∠H（对顶角相等），所以∠2=∠H，所以EG=EH。设CG=x，DG=y，则CD=CG+DG=x+y，因为CE=CD=x+y，点F为CE的中点，所以CF=$\frac{CE}{2}=\frac{x+y}{2}$，EF=CE-CF=x+y - $\frac{x+y}{2}=\frac{x+y}{2}$。因为EH=EG，设EH=EG=m，则CH=EH-EC=m - (x+y)。因为AD=BC=BE+EC=BE + x + y，又因为AD=BC，由△ADG∽△HCG得$\frac{AD}{CH}=\frac{y}{x}$，即$\frac{BE + x + y}{m - (x + y)}=\frac{y}{x}$。在Rt△AEC中，AE⊥BC，EG=EH=m，EC=x+y，所以EG²=AE² + (EH - AH)²（此处表述有误，应为在Rt△AEG中，AE⊥BC，所以EG²=AE² + (EH - EF)²，因为EF=$\frac{x+y}{2}$，所以EG²=AE² + (m - $\frac{x+y}{2}$)²。又因为EH=m，EC=x+y，所以CH=m - (x+y)，AD=BC=BE + EC，由
(1)知BE=$\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(x+y)^{2}-AE^{2}}$，但AE为固定值，通过复杂计算可得m = x + $\frac{x+y}{2}$，进而可得CH = x，AD = y，因为AD=BC=BE + EC，而AD = y，EC = x + y，所以BE = AD - EC = y - (x + y) = -x（矛盾，重新思路）。
正确思路：过点G作GM⊥BC于M。因为AE⊥BC，所以GM//AE，所以△CGM∽△CAE（此处应为△CGM∽△CBE，表述有误），所以$\frac{GM}{AE}=\frac{CM}{BE}=\frac{CG}{BC}$。因为∠1=∠2，∠FCD=∠GCM，所以△FCD∽△GCM，所以$\frac{CF}{CG}=\frac{CD}{CM}$。因为CF=$\frac{CE}{2}=\frac{CD}{2}$，设CD=2a，则CF=a，所以$\frac{a}{CG}=\frac{2a}{CM}$，所以CM=2CG。因为GM//AE，所以$\frac{CM}{CE}=\frac{CG}{CD}$，即$\frac{2CG}{2a}=\frac{CG}{2a}$（矛盾，最终正确方法）。
取CE中点F，连接GF，因为CE=CD，CF=EF=$\frac{CE}{2}=\frac{CD}{2}$，因为∠1=∠2，∠ECG=∠DCF，所以△ECG∽△DCF，所以$\frac{EC}{DC}=\frac{CG}{CF}$，因为EC=DC，所以$\frac{CG}{CF}=1$，所以CG=CF=$\frac{CD}{2}$，所以CD=2CG。
【答案】：
(1)$\sqrt{7}$；
(2)证明见解析

3. 先化简,再求值：$(\frac {1}{a-2}-\frac {1}{a+2})÷\frac {2}{2-a}$,其中$a= \sqrt {3}-1$.

答案： 【解析】：
首先，对给定的式子进行化简。
考虑式子：
$(\frac {1}{a-2}-\frac {1}{a+2})÷\frac {2}{2-a}$，
对于括号内的两个分数，找公共分母进行通分：
$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2} = \frac{(a+2) - (a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{4}{(a-2)(a+2)}$，
接下来，处理除法：
$\frac{4}{(a-2)(a+2)} ÷ \frac{2}{2-a} = \frac{4}{(a-2)(a+2)} × \frac{2-a}{2}$，
由于 $2-a = -(a-2)$，所以：
$\frac{4}{(a-2)(a+2)} × \frac{-(a-2)}{2} = -\frac{4 × (a-2)}{2 × (a-2)(a+2)} = -\frac{2}{a+2}$，
最后，代入 $a = \sqrt{3} - 1$ 进行求值：
$-\frac{2}{\sqrt{3} - 1 + 2} = -\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$，
为了去除分母中的根号，我们采用有理化分母的方法，即与其共轭式相乘：
$-\frac{2}{\sqrt{3} + 1} × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = -\frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = 1 - \sqrt{3}$。
【答案】：$1 - \sqrt{3}$。